Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

84 Глава 2

а это вместе с тривиальной частью доказательства дает утверждение теоремы.

Осталось доказать существование элемента х0. Опре­ делим. для каждого у из В множество

Ау= {х £= А: ф(х, у )> с).

Множество Ау замкнуто, ограничено и выпукло. Пред­ положим, что для некоторого конечного набора у ь .. .,уп

а

Г К , = 0 - 1=1

Зададим отображение из А в Еп равенством

Обозначим через G замкнутую выпуклую оболочку мно­

жества f (А), а через Р замкнутый положительный ко­ нус в Еп. Тогда

• Pf ] G=0 .

Действительно, так как функция ф(лг, у) вогнута по х,

показывающее, что выпуклая оболочка множества f(A )

можно выделить подпоследовательность (перенумеруем ее в {хш}), слабо сходящуюся к некоторому элементу х0 множества А. В силу вогнутости по х функции ср(х, z/J для любого Уі

1іпіф(хш, z/iK ф(х0) Уі),

или

f (х0) > Йш f (Xm) = V.

Отсюда следует, что пересечение Р Л G пусто.

Из всего сказанного выше ясно, что все компоненты аг должны быть неотрицательны и не все одновременно

равняться нулю. Поэтому, поделив обе части послед-

П

что противоречит определениючисла с. Итак, для

любого конечного набора {z/„} пересечение пПАу не

£=І

пусто.

Покажем теперь, что на самом деле даже пересе­ чение

П Аи

у<^В

к тому же слабо замкнуты. Но так как они еще и ограничены, то они компактны в слабой топологии. Это относится также и к Л. Обозначим дополнение мно­ жества Ау через Gy. Тогда Gy открыто в слабой топо­

логии, и если бы пересечение (") Ау было пустым, то

IіеВ

было бы

U G y ^ H ^ A .

у<=В

Поскольку множество А компактно, его можно покрыть конечным числом множеств :

т

U °У, =>А-

і=і

Тогда

т

гГ=\1А У і = 0 ,

т. е. Пришли к противоречию. Обозначим теперь эле­ мент, принадлежащий всем множествам Ау ( у ^ В ) , черёз х0:

^ѵ&в АУП

Очевидно, что ф(х0, у ) ^ с , и теорема доказана.

С л е д с т в и е 2.3. Пусть функция ср(х, у) из тео­ ремы 2.7 непрерывна по каждой переменной и мно­ жество В ограничено. Тогда существует оптимальная пара стратегий, обладающая свойством седловой точки.

следует непосредственно из соотношений (2.14) — (2.16).

мощи теоремы 2.7), рассмотрим случай, когда ф(*> У) = [У. «/] — [*. х\ — 2[х, у],

А — шар IIX||^ 1 , а множество В, на котором ищется минимум, совпадает со всем пространством. Тогда

в нем идеи распространяются, как мы увидим, и ня случай функционалов типа разности неотрицательных квадратичных форм. Заметим, что в этом примере можно взять в качестве А все пространство и резуль* тат от этого не изменится.

П р и м е р 2.10. Другой столь же простой, но более содержательный результат — принцип двойственности по норме [13].

88 Глава 2

Т е о р е м а 2.8. Пусть С — замкнутое выпуклое мно­ жество в Н, а fs(-) — его опорный функционал. Тогда

Поэтому, так как множество элементов, для которых IIX||^ 1 , симметрично (т. е. х принадлежит ему тогда и только тогда, когда ему принадлежит — х),

Теперь можно непосредственно применить теорему 2.7, взяв в качестве А единичный шар с центром в начале координат, а в качестве В — выпуклое множество С, которое, естественно, не обязательно ограничено, т. е. можно изменить порядок операций sup и inf:

II* I K I

итеорема доказана.

Сл е д с т в и е 2.4. Если множество С замкнуто и вы­

пукло, a fs{ ■) — его опорный функционал, то

Равенство (2.17) дает еще одну характеризацию про­ екции на С.

Приложение. Теорема Фаркаша

В качестве последнего, но на самом деле непосред­ ственного примера применения теорем отделимости (в конечномерных пространствах) упомянем теорему Фаркаша, играющую фундаментальную роль в теории оптимизации потоков на сетях.