Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 0
96 |
Глава 2 |
чтобы для любого единичного вектора e e £ j выполня лось неравенство
fv( e ) - f u ( - e ) < d - [ e , яФ (Т) х (0)]. |
(2.24) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде чем приступить к фор мальному доказательству, исследуем, что может дать условие завершимости. Пусть е—произвольный единич ный вектор из Ek. Рассмотрим
sup inf [е, |
яд:(Г)] = |
|
о(-) «(•) |
|
г |
|
|
|
= sup inf |
е, яФ (Т) л:(О)-)- я f Ф {Т —■s) Ви (s) ds + |
|
»(•) |
«(•) L |
о |
|
|
т |
|
|
+ я J Ф (Т — s) Cv (s) ds . |
о
Эта функция платежа удовлетворяет условиям тео ремы 2.7 и следствия 2.3. Поэтому никакого сомнения в возможности перестановки операций inf и sup нет. Обозначим цену такой игры через q (е, Т). Заметим, что
inf [е, у] = - f u i - e ) ,
»s a « |
|
и условие (2.24) можно переписать в виде |
|
q{e, T ) ^ d . |
(2.25) |
Перейдем теперь непосредственно к доказательству.
Необходимость. Предположим, что игру можно завер шить за время Т, но при этом условие (2.24) не выпол няется. Это значит, что для некоторого единичного вектора е
q{e, Т)> d.
Выберем вектор ѵ0(-) так, чтобы
гг
|
fv (в) = е, |
я j |
Ф (Т — s) Cv0(s) ds . |
|
|
о |
|
(Это |
всегда возможно |
в силу компактности множе |
|
ства |
Естественно, |
что соответствующая функция и0(*) |
|
Выпуклые множества в гильбертовых пространствах |
97 |
не обязательно единственна.) Тогда
т
d < ' е, яФ (Г) X (0) -j- я J Ф (Т — s) Сѵ0 (s ) ds +
о
г
+ я J Ф (Т — s) Ви (s) ds
при любом допустимом управлении «(•), а это противоречит утверждению о том, что игру можно завер шить за время Т. Заметим, что пока мы не пользо вались теоремой отделимости.
Достаточность. Докажем теперь, что условие (2.24) достаточно для того, чтобы игру можно было завер
шить за время |
Т. Предположим, что это не так. Тогда |
|
преследуемый |
имеет |
возможность выбрать допустимое |
управление и0( - ) так, |
чтобы множество |
|
|
т |
т |
яФ(Г) X (0) + л j<£>(T—s)Cv0(s) ds-{-n J Ф (T—s) Ви (s) ds
о о
ни при каком допустимом управлении и ( •) не пере секалось с областью перехвата S (d), представляющей собой шар радиуса d с центром в начале координат пространства Ek. Тогда с шаром S(d) не пересекается
и замкнутое выпуклое множество
т
, |
лФ (?)*(()) + п J |
Ф(Г — s)Cü0(s)ds-f Qu. |
|
о |
|
Это значит, что расстояние между этими множествами строго больше нуля и, следовательно, они сильно отде лимы. Другими словами, найдется такой единичный йектор е е Д , что
inf е, яФ (Г) X (0) + я I Ф (T — s) Сѵ0 (s ) ds + «(•)
+ я I Ф (T — s)Bu (s) ds > sup [e,y] = d,
y<^S(d)
откуда q(e, T)>d, что противоречит условию (2.24).
4 Зак. 751
98 |
Глава |
2 |
Положим теперь |
|
|
d (Т) = sup q (е, |
Т), |
e<=Ek, ||е ||= 1 , |
и покажем, что d (Г)—непрерывная функция времени Т при Г ^ О . Для этого удобно ввести обозначение
Q(I (Т) = I я J Ф (T—s) Би (s)ds; и (s) Ки почти всюду|,
а опорный функционал этого множества обозначить через fu(-, Т). Аналогично введем обозначения QV(T)
и М - , |
Т). |
|
Центральным для нас сейчас является непрерывность |
||
функционала f u(e, Т) |
по Т при любом фиксированном е. |
|
Она следует из того, |
что для любого г/е£2ц(Г + А) |
|
г+д |
|
|
y = n j |
Ф ( Г + А — s) Bu(s) ds = |
|
о |
|
о |
т |
|
|
= п I Ф(Г — s)Bu(A + s)ds + я I Ф(Т—s)Bu(A-\-s)ds,
о - д
где первое слагаемое принадлежит QU(T), а второе по рядка А (мы будем обозначать это как О(А)). В самом деле,
QB(Z’+A)=QIICO+
+ I п J Ф(Т-\- s)Bu(s) ds\ и (s) <= Ки почти всюду j ,
и потому |
fu(e, T + A ) - f u(e, Т) | = |
О(А). |
I |
||
Аналогичное |
утверждение справедливо |
и для /„ (•, Т). |
Пусть теперь |
|
|
|
d{T + A) = q(eA, Т + А), |
|
Тогда |
d(T) = q(e0, Г). |
|
|
|
|
d ( T + A ) - d ( T ) ^ q ( e A>T + A ) - q ( e A, Т) = |
||
= |
[еА, я (Ф (Т + А) - Ф (Т)) s (0)] + |
|
+ (Ыед. Т + |
А)—/о{еА, T))-(fu( - e A, T + A ) - f a( - e A,T)) |
|
Выпуклые множества в гильбертовых пространствах |
99 |
и очевидно, что правая часть порядка А. Кроме того, d { T + b ) - d { T ) ^ q { e Q, Г + Д ) - ? ( е 0, Т) = 0(A).
Таким образом, функция d(T) непрерывна. Предположим теперь, что для данного начального
состояния х(0) существует конечное отличное от нуля время завершения игры. Чтобы избежать тривиальных случаев, положим || ях(0) || > d. Обозначим через Т0 наименьшее время завершения игры. Тогда
|
|
= |
Т0>0. |
|
Действительно, |
если |
d (Т0) <d, то |
в силу непрерыв |
|
ности функции |
d(T) |
найдется такое |
достаточно малое |
|
число е > 0, что d(TQ— е) < |
d. |
|
||
Т е о р е м а 2.11. Пусть d(T0) = supq(e, T0) = q(e0, Т0),
е
а и0(-) и ѵ0(-) — соответствующие управления пресле дователя и преследуемого. Тогда для любого допусти мого управления и (-)
II Z(T0, uo(-), v0(-))\\ = d ^ \ \ Z ( T 0, «(•). t»o(-))Il-
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть II Z (TQ, u0(•), v0(•)) II < d. Тогда q (e0, T0) < d, что невозможно.
Если же II Z (Т0, и0 (•), ѵ0(•)) || > d, то, поскольку для любого допустимого управления «(•)
[е0, Z{TQ, и{ •), üo(' ))]>[во. Z(T0t Uq(•), o0( •))] > d,
получаем
\\Z(T0, u ( - ) , ü 0(.))\\>d,
T. e. r 0 не может быть временем завершения игры, что противоречит условию. Доказательство оставшихся утвер ждений теоремы очевидно.
4*
Глава 3
ФУНКЦИИ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОПЕРАТОРЫ
В этой главе мы займемся изучением основных по нятий, связанных с преобразованиями (отображениями, функциями, операторами) одного гильбертова простран ства в другое, а также свойств этих преобразований. Здесь мы сможем лишь вскользь остановиться на наи более важных для нас вопросах, а для более углублен ного изучения материала можно обратиться к книгам, упомянутым в списке литературы.
Выше мы уже встречались с примерами функций, отображающих гильбертово пространство в поле веще ственных или комплексных чисел. Функцию, множество значений которой принадлежит полю скаляров, назы вают функционалом.
Вообще функция может быть определена не на всем гильбертовом пространстве, а лишь на некотором его подмножестве. Это подмножество называют областью определения функции. Множеством значений функции называют множество, в которое эта функция отобра жает свою область определения. Нас будут интересо вать лишь те случаи, когда область определения функ ции есть плотное подпространство (а значит, в част ности, и само гильбертово пространство). Для удобства условимся обозначать область определения через D, гильбертово пространство, ее содержащее, через Н{1 множество значений через R, а содержащее его про странство через Н2.
О п р е д е л е н и е 3.1. Оператор (преобразование) L называется линейным, если его область значений D является линейным подпространством (плотным или нет) И он линеен на D, т. е.
L [ах -\-$y) = a,Lx-j- ßLy.