Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
30 |
|
Глава 1 |
|
|
где II V Но = |
Ѵ[ѵ, |
ö]o , II V 1= /[и , |
и], . |
Теперь определим |
в L2(a, b) |
новую норму (так называемую „отрицатель |
|||
ную норму“ П. |
Лакса) |
|
|
|
|
n / n i _ , = i mi = s u p |
' ^ |
10' |
|
и воспользуемся теоремой Рисса, согласно которой в V должен найтись такой элемент g, что
[fi, o]0 = [g, o]o + [g'. v']Q. |
(1.21) |
Если временно предположить, что функция g' абсолютно непрерывна и ее производная g" принадлежит L2(a, b), то, интегрируя по частям второй член справа в равен стве (1.21), получим [g', v% = — [g", ü]0 и, следова тельно,
[А, о]0 = [g' — g", о]0
для всех V из V. Но так как V плотно в Ь2(а, Ъ), то
h — g — g", g{a) = g(b) = 0. |
(1.22) |
Соотношения (1.22) можно рассматривать как диф ференциальное уравнение относительно g с заданными краевыми условиями, обеспечивающими единственность решения, причем g " ^ . L 2(a,b). В частности, отсюда следует, что
HAIL, = 11^11,-
Таким образом, мы получили линейное преобразование пространства Н в пространство, сопряженное к V. Отметим, что в нашем примере Н на самом деле полно относительно отрицательной нормы.
П р и м е р |
1.6. |
П р о и з в о д н а я Р а д о н а — Н и к о |
д и м а д л я |
мер. |
Обозначим через £2 абстрактное про |
странство, через $ — алгебру его подмножеств, а через ц и V — две счетно-аддитивные вероятностные меры, опре деленные на 33. Покажем, что теорему Радона — Нико дима можно доказать с помощью представления Рисса для линейных функционалов. Мы докажем, что
_[4* = | ^ ѵ + чг(Л),
АА
|
Основные свойства |
гильбертовых пространств |
31 |
|
где функция g ( - ) измерима |
относительной, 0 ^ g ( - ) , |
|||
а |
(• ) — счетно-аддитивная мера, для которой ¥ (Л) = |
|||
= |
ц(ЛПА0, v(W) = 0, N<=$. |
|
||
и |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим через ф меру р + |
ѵ, |
|
пусть Н = Ь2(й, |
ф) |
(вещественное гильбертово |
||
пространство). Для каждой функции / ( • ) из Н зададим функционал
L( f)= J fd\i.
Q
Согласно неравенству Шварца,
\L(f) |2< J | / | 2d p < J l H * P = ll/IP.
Йй
Следовательно, L (■) определяет на Н непрерывный линейный функционал, и в силу теоремы Рисса о пред ставлении
L(f) = [f, А]
для некоторого А е Н, или для всех / (•) из Н
J / dp = С/А dф.
Q Й
Поэтому для каждого Л е І
Сdp = СА dф,
АА
где в качестве f (■) мы взяли характеристическую функ цию множества А. Отсюда следует, что А ^ 1 почти всюду по мере ф. В частности, если через Л_ обозна чить множество, где А < 0, то
О ^ |
Сdp = |
f А dq>, |
а '_ |
а '_ |
|
так что р (Л_) = 0 = ѵ (Л_), |
откуда 0<[А <Д почти |
|
всюду по мере ф иI |
|
|
I f (1 — А) dp = |
Сfhdv. |
|
Q |
|
Q |
32 |
Глава I |
Обозначим через N множество, где А =1. Тогда v (jV) = 0. Положим
W(A) = ii(A[]N).
Тогда W — счетно-аддитивная мера с носителем на множестве нулевой ѵ-меры, т. е. мера Ч1, сингулярна относительно ѵ. Но теперь очевидно, что соотношение
I / (1 — h) dp = |
J |
fhdv |
й |
й |
|
продолжает оставаться справедливым для любых почти всюду по мере ф неотрицательных измеримых функций, будь они интегрируемы с квадратом или нет.
Поэтому для любого множества А из $ можно положить
|
|
на |
A — N, |
|
Тогда |
О |
в противном случае. |
||
J d^ = l j è h dv’ |
||||
|
||||
|
A - N |
А |
|
|
откуда, |
как итребовалось, |
|
||
f d» = S Т = Т t,v + |
|
^ т г Л + ЧЧЛ), |
||
A |
A |
AftN |
А |
|
где
h
£1—fl ■
Слабая сходимость
Известная теорема Больцано — Вейерштрасса утвер ждает, что каждая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет по крайней мере одну пре дельную точку. Совершенно ясно, что этот результат сохраняет свою силу и во всяком другом конечномерном пространстве со скалярным произведением. Одно из важных свойств бесконечномерного гильбертова про странства состоит в том, что этот результат для него
Основные свойства гильбертовых пространств |
33 |
оказывается несправедливым. Действительно, если раз мерность пространства бесконечна, то всегда можно построить бесконечную последовательность ортонормированных элементов hn, а для них
ИА«» 11= 1.
в то время как при любом т=£п
II hm hnIP = 2,
и, следовательно, у этой последовательности нет пре дельных точек. В связи с этим естественно спросить: как обобщить результат Больцано — Вейерштрасса? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим сначала, что для любого элемента g из Я справедливо неравенство Бесселя
\\g\\2> ^ \ [ g , hk] I2, 1
где {hk} — построенная выше бесконечная последова тельность ортонормированных элементов. Другими сло вами, для всех g из Я
Hm [g, Afc] = 0 = [g, 0], k
а это позволяет ввести более слабое понятие сходимости.
О п р е д е л е н и е 1.18. Последовательность {xk} эле ментов из Я называется слабо сходящейся к элементу х
из Я, если для всех g из |
Я |
1іш[хь |
g] = [x, g]. |
k |
|
Оп р е д е л е н и е 1.19. Элемент у называется слабой предельной точкой множества М, если [х, у] — предель ная точка для [х, М] при любом х из Я.
Оп р е д е л е н и е 1.20. Множество М называется слабо замкнутым, если оно содержит все свои слабые предельные точки.
З а д а ч а 1.8. Покажите, |
что для |
фиксированного |
конечного числа элементов х{, |
і — 1........ |
п, множество |
2 Зак. 751
34 |
Глава |
I |
всех X из Я, для |
П |
|
которых 2 |
[х. х(]2 < 1> слабо открыто |
|
|
1 |
|
(покажите для этого, что его дополнение слабо замкнуто).
Если А —борелевское множество в Еп, то множество всех X из Я, для которых {[х, х;], г = 1, . . . . п) е Л ,
азывается цилиндрическим.
З а д а ч а 1.9. Каждое слабо замкнутое множество (сильно) замкнуто. Построив соответствующий пример,
покажите, что |
обратное утверждение, |
вообще говоря, |
неверно. |
|
|
П р и м е р |
1.7. Пусть H = L2(0, |
Т). Обозначим |
через |р.„(-)} последовательность функций единичной
нормы, слабо сходящуюся к нулю. Обозначим через |
(/) |
|
преобразование Фурье этих функций: |
|
|
т |
|
|
Ч',, (f) = I |
р„ (0 ехр 2nift dt. |
|
О |
. |
|
Тогда для всех f |
|
|
¥„(/)->0. |
|
|
Более того,_ поскольку |
в силу неравенств Шварца |
|
W n W K V T U n W , то для каждого конечного числа В > О
............... в
(1.23)
-в
всилу теоремы Лебега об ограниченной сходимости. Другими словами, в любой частотной полосе конечной ширины мощность падает до нуля, хотя при этом
ОО |
00 |
J I ^nif) fd f = |
J I |X„(0 I2 ей = 1. |
—oo |
О |
Верно и обратное. Если для некоторой последователь ности функций |л„(-) из Н с единичной нормой пре образования Фурье обладают свойством (1.23), а именно мощность в любой частотной полосе конечной ширины падает до нуля, то {р„( •)} слабо сходится к нулю в Я.
Основные свойства гильбертовых пространств |
35 |
Для доказательства достаточно заметить, что для любой
функции g ( - ) |
из |
Н с преобразованием |
Фурье Ч ^ * ) |
|
Г |
00 |
|
|
|
I иn (t)g ¥ )d t= |
|
= |
|
|
О |
— 00 |
я |
I |
|
|
= |
J Чп (!) %W) d !+ |
(f) % (f) df-, |
|
|
|
-в |
lf|>B |
|
число В надо взять достаточно большим, чтобы второй
член справа был |
достаточно мал |
независимо |
от п, |
а затем надо взять п достаточно |
большим для |
того, |
|
чтобы первый член сделать достаточно малым. |
|
||
Теперь можно |
сформулировать |
фундаментальное |
|
свойство гильбертовых пространств. |
|
|
|
Т е о р е м а 1.3. (Свойство слабой компактности.)
Каждая ограниченная последовательность элементов гиль бертова пространства содерэюит слабо сходящуюся под последовательность.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через (хА) после довательность, ограниченную по норме числом М:
IUäIK M ,
а через Н0— замкнутое подпространство, натянутое на элементы xk. Пусть Ht—ортогональное дополнение этого подпространства. Рассмотрим последовательность чисел [лг[, хп). Поскольку она ограничена, в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить схо дящуюся подпоследовательность. Обозначим эту под последовательность через {а^|:
ап = \хѵ Х'пѴ
Рассмотрим затем последовательность чисел [х2, xj^. Она
также должна содержать сходящуюся подпоследова тельность, которую мы обозначим через [а^|:
^ = К > 4 ] -
Продолжая этот процесс, строим диагональную после довательность (х"|. Для каждого пг последовательность
2*