Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
226 |
Глава 5 |
Выведем теперь условия, которые нужно наложить на R для того, чтобы соответствующая мера была счетно аддитивной.
Т е о р е м а 5.2. Пусть R — неотрицательно опреде
ленный самосопряженный оператор, |
отображающий Н |
в Н. Для того чтобы цилиндрическая |
мера, индуциро |
ванная оператором R, была счетно-аддитивной, необхо димо и достаточно, чтобы оператор R был ядерным.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточность. Обозначим |
5(0;'Я) = |
{ х : | | х ||2 < Я 2} |
и возьмем последовательность {Z„} цилиндрических мно жеств, покрывающую S (0; Я). Тогда найдутся такие открытые цилиндрические множества Zu, что для лю бого е > 0
Z'k =э Zk,
и, значит,
ооОО
I |
1 |
Так как е произвольно, то
Ре (S (0; Я)) = inf S М- (-Zfe), k
где
оо
\J Z k =o 5(0; Я) 1
и цилиндрические множества Zk открыты. Далее, так как шар 5 (0; Я) слабо компактен, то из любого его открытого покрытия можно выделить конечное по крытие. Поэтому
Ре (5 (0; Я)) = inf р, (Z),
где Z — объединение конечного числа открытых цилин дрических множеств, покрывающее S (0; Я), т. е. открытое цилиндрическое множество, содержащее 5(0; Я). Таким образом, мы видим, что нижнюю грань можно брать по классу цилиндрических множеств, содержащих 5(0; Я).
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве |
227 |
Возьмем теперь произвольную полную ортонормаль ную систему {і|)г} и положим
Ѣ [лг,^]2< Я 2}.
Покажем, что можно выбрать такое достаточно боль шое число X, чтобы для заданного е > 0 и для каж дого п выполнялось неравенство
р (£„ (А,)) > 1 — е (независимо от выбранной ортонормальной системы).
Для этого заметим, что если |
Нп — пространство, натя |
|
нутое на векторы opj, ... , t|>„, |
а Рп — оператор проекти |
|
рования на |
то |
|
En(X) = Pn (S(0-, Х)) + Нсп,
где Нп — ортогональное |
дополнение к Нп. Но для ве |
|
щественных t |
|
|
«?[*• »il' |
dp ■ |
1 |
/ |
У \l-2 itQ n\ |
|
н |
|
|
где |
|
|
Q n — Р nR> |
|
|
11 - 2itQn I = det I / - 2itPnR |.
Оператор PnR вырожден (т. e. его множество значений конечномерно), самосопряжен, неотрицательно определен
и, значит, оператор |
det j / — 2itPnR I корректно |
опре |
делен. Более того, |
PnR-+R по ядерной норме |
при |
п —.>оо и
det I / - 2itPnR |-► det | / — 2UR I, oo
det I / — 2itR I = П (1 — 2itXk), k=i
где Xk — собственные векторы оператора R\ бесконечное произведение сходится, поскольку R — ядерный оператор
4J*
228 |
Глава 5 |
ОО |
|
и для него 2 Ä ft<oo. |
Отсюда следует, что |
1 |
|
п |
|
и, значит, для заданного е > 0 можно найти такое до статочно большое число Я, что неравенство р. (Еп(Я)) ^ ^ 1 — е будет выполняться для каждого п, поскольку
ОО
и не зависит от конкретной ортонормальной системы, которой мы пользовались.
Обозначим через Z произвольное цилиндрическое множество, содержащее S(0; Я) для выбранного только
что числа Я. Запишем |
Z = Вп -\- Нсп, где Вп — борелев- |
|
ское множество в |
Ясно, что |
Я„(5(0; Х ))аВ п, где |
Рп — оператор проектирования на |
Таким образом, |
|
M Z )> 1 - е,
откуда
Ji.(S(0; Я ) ) > 1 - е ,
и можно применить теорему 5.1.
Необходимость. Докажем сначала, что оператор R
компактен. Пусть {/„} — последовательность, |
слабо схо |
|
дящаяся к f, и пусть |
|
|
gn (х) = exp i [х, fn], |
xz=H. |
|
Функция gn{x) непрерывна (следовательно, |
измерима |
|
относительно і%) и для каждого х |
|
|
gn (х) -> g (х) = exp i [х, f], |
I gn (jc) |= 1 . |
|
Согласно обычной теореме Лебега об ограниченной сходимости для счетно-аддитивных мер,
е [Äf«- in]/2= J gn (х) d\x, ->■ I g (x) dp = e,-Wf. fiß
откуда |
_ |
_ |
;a |
[Rfn, fn] = W R f n f - * \ V R f T ‘
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве |
229 |
Так как V Rfn слабо сходится к VRf, то в силу свойств гильбертова пространства У Rfn сильно сходится к VRf .
Таким образом, оператор V R компактен, а потому компактен и оператор R.
Пусть {фг} — ортонормальная последовательность соб ственных векторов оператора R, которые, таким обра зом, могут служить базисом пространства Я. Положим
5(0; Х) = {х: ||х||2<Л},
5„(0; Я) == I jc: 2 [х , Ф»]2< я | .
F (X) = р. (5 (0; X)), — с» < X < оо,
F„ (А,) = ц (5„ (0; X)), — со < X < со.
Тогда Fn (X) — функция распределения, сходящаяся при каждом X к функции распределения F(X). Следова тельно, при каждом t последовательность чисел
|
J e ^ d F n(X) = Cn(t) |
|
||
сходится к |
|
|
|
|
|
J еіа dF (X) = |
С (t). |
|
|
Так как |
|
|
|
|
с„(0= J е |
и і [ х . |
ф,]‘ |
1 |
|
1 |
d]i. |
|
|
|
я |
|
|
(1 - |
2 itXk) |
|
|
|
||
где Xk=[Rq>k, ф*], |
то последовательность |
П 0 - 2 В Д |
||
сходится при каждом |
t, так что |
I |
k=i |
|
|
|
|||
iI itXkI — 1112 'Xk< 00>
iI
аэто значит, что оператор R ядерный.
8 Зак. 751
230 |
Глава 5 |
С л е д с т в и е |
5.1. Для того чтобы цилиндрическая |
мера ц, индуцированная оператором R, была счетно |
|
аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для любой |
|
полной ортонормальной системы {ф/.} |
|
|
|
s u p |
J |
] £ Ф} *]2[ * * |
< |
00• |
|
|
|
п |
я |
I |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
мера р счетно-адди |
|||||
тивна. Тогда оператор R ядерный и, следовательно, |
|||||||
|
П |
|
|
П |
|
оо |
|
j |
Ф*]2 |
|
|
|
|
|
ф*] < 00• |
Я |
I |
|
|
1 |
|
1 |
|
Обратно, пусть |
|
П |
|
|
|
||
|
|
|
|
[х, q>k)2dp < |
|
||
|
|
sup |
Г У |
О О . |
|||
|
|
п |
*. |
I |
|
|
|
Так как |
|
Я |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
{ |
У)[*. |
Фа]2^Ц = |
1 |
ФьІ, |
||
то |
Я |
I |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 [ Я ф*. Фа] < |
°°. |
|
||
т. е. оператор R ядерный и, следовательно, мера ц счетно-аддитивна.
Наконец, заметим, что если R — ядерный оператор, то
|
J II XII2 dp — tr R < оо. |
|
я |
З а д а ч а 5.4. |
Пусть ц — счетно-аддитивная цилин |
дрическая мера. |
Тогда для данного е > 0 существует |
такой шар радиуса пг (с центром в начале координат), что мера любого цилиндрического множества, содер жащегося в (теоретико-множественном) дополнении этого шара, меньше е. Обратное также верно.