Файл: Реология в процессах и аппаратах химической технологии [сборник статей]..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 42

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

случае из уравнения неразрывности определится порядок компонента скорости:

С учетом принятых допущений уравнения Навье-Стокса значительно упрощаются и принимают вид:

-1IP+dS + f =о

(О

Р OZ

dz<

 

дi*

Ff =0,

(2)

 

 

 

 

(5)

Здесь Fz s:(Ozz - Z io V y ,

F$ = 2 u ) l h )

и — коэффициент кинематической вязкости.

Так как давление поверхности среды постоянно и не зави­ сит от радиуса, а по уравнению (4) оно не зависит от коорди­

наты z, то в уравнении (1) dP/dr можно положить

равным

нулю.

 

Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем:

 

Vz = e a i(C ,S Ln a .i- C4COS£U)+e QS(C„COSCW-

- С, sin a i)t

W

%= ^ ( C 'C o s a i + с г$1п.а.г)+ e ai(c3Cosai+

+ cksi.n a i)-^ u )z .

(5)

80

Константы интегрирования Сi, С2, Сз, С4 найдем

из гра­

ничных условий:

 

 

 

 

 

пци г*о,

i t - О,

при г-Н, | j r 4 f j p - a

(6)

Из уравнения

(4) и (5)

с учетом (6) найдем:

 

 

i

С'='1 шг- ^ 1; C2=c-='a wiF j ;

»

 

»•

 

 

 

гЭе jQ-^*e.th*cos2Ka)e-

 

 

 

 

 

U l * K,COSlh.

 

 

 

 

„

-lht

 

 

 

 

е

Sin2.he

 

 

 

 

 

~ 1+e*rh‘cos 2 h o l

 

 

h — безразмерная толщина

пленки.

 

 

Радиальный расход на единицу длины окружности найдет­

ся из выражения:

 

 

 

 

 

H оW

 

 

 

(7)

Подставляя в уравнение (7)

значения ur из

(4),

получим:

 

 

 

 

 

 

( 8)

Безразмерную толщину пленки h0 можно представить в виде: h0 = h/yv/(o. Параметр Уv/co представляет собой толщи­

ну слоя вязкой среды, увлекаемого вращением диска вслед­ ствие трения. Поэтому практически для всех режимов работы при нанесении различных композиций на подложки с помо­ щью вращающегося диска величина ho<0,8. Для этих значе­ ний безразмерной толщины пленки выражение в скобках уравнения (8) с большой степенью точности можно аироксимировать зависимостью:

( £ £ - ц « М « м 1 |'Г

« )

В этом случае для определения расхода среды получаем зависимость:

6 Заказ № 154

81

$ = А г к м;

где A=0tm J ' 9iY ' 9iS

НО)

Дифференциальное уравнение для определения толщины слоя среды найдем из условия сплошности в виде:

Подставляя в уравнение (11)

значение

q из уравнения

(10), получим:

 

 

 

 

г,8?

 

‘■n dk

(12)

-2Ак =

at

2,87Аг

dz

Если найденные из (12) последовательные границы по* верхности представить мгновенным положением серии точек, движущихся по семейству характеристических кривых, то вы­ сота h каждой из этих движущихся точек изменяется по закону:

d h _ d k + d k . d l

dt ~ 3t

dz

cLt .

Из уравнений (12)

и

(13) найдем:

2Акг'8?

 

d t

 

4f=2,S7 Агк

?

a i

из)

№

05)

здесь h* и г* — координаты точки на поверхности среды. Решая совместно уравнение (14) и (15) с учетом гранич­

ных условий при t = 0, h* = h0* и r* = r0*, получим:

 

 

_

1

 

h* = h0*

(1+3,74 Ah0*1,87-t)

Р»',

(16)

r* = r0*

(1 + 3,74 Aho*''87-t)0’767,

( 17)

здесь h0* и r0* — высота точки на поверхности

слоя и радиус

этоц же точки в начальный момент времени.

(h* и г*) точки

Уравнения (15) и (17) дают

координаты

на поверхности среды через

время t, выраженные через их

начальные координаты (h0*

и г0*).

 

82

выводы

В работе рассмотрено растекание вязкой жидкости по по­ верхности вращающегося диска. Получены зависимости, по­ зволяющие из любого начального контура поверхности вязкой среды построить новый контур, соответствующий любому мо­ менту 'времени.

ЛИТЕРАТУРА

1.Emslie A. G., Bonner F. Т., Peck L. G., Journal of Appl. Physics. 29.

858.1958.

2.Зиннатулин H. X., Вачаган К. Д., Тябин И. В. И.Ф.Ж., т. XV, 1968,

№2.

РЯЕЧУК Г. В.. УКЛИСТЫП А. В.

РАСТЕКАНИЕ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ ПО ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА

Многие клеевые композиции, лаки, краски и другие мате­

риалы, которые наносятся

на

различные

поверхности при

помощи вращающихся дисков,

обладают

неньютоновскими

свойствами. Однако работ

по

растеканию

неньютоновских

сред по вращающимся поверхностям до настоящего времени нет. Поэтому представляет значительный теоретический и практический интерес рассмотрение данной задачи.

Допустим, что на диске радиуса R находится слой несжи­ маемой, однородной, неиыотоновской среды, подчиняющейся

реологическому уравнению

Оствальда де Виля.

Диск мгно-

 

венно приводится во вращение

Z

и далее вращается с постоян­

 

ной угловой скоростью о). Рас­

 

смотрим, как слой неньютонов­

 

ской среды будет

растекаться

 

под действием

центробежных

 

и кориолисовых

в

сил.

Задачу

 

будем решать

цилиндриче­

 

ской системе координат, жест­

О)

ко связанной с диском

(рис. 1).

Течение осесимметрично. Счи­

Рис. 1

таем, что силами

инерции, тя­

 

жести, поверхностного натяже-

ния, трения о воздух можно пренебречь, так как они намного меньше центробежных и кориолисовых сил. Толщина слоя среды h много меньше радиуса. В этом случае уравнения дви­ жения принимают вид [1]:

Л д_

Р д 1

84

 

21Hzl'

iu)lJz =0,

(2)

 

 

л Л П ( М ) ^ ( М е )

г

 

здесь: vr

и v ,, — радиальная

и азимутальная

компоненты

скорости,

р — плотность среды, к — характеристика

конси­

стентное™, п — индекс течения.

 

боль­

Точное решение уравнений

(1)

и (2) представляет

шие математические трудности.

Поэтому применим

метод

интегральных соотношений, как это делается в теории погра­ ничного слоя, т. е, заменим исходные уравнения соответству­ ющими интегральными соотношениями. Суть этого метода состоит в том, что заранее задаются видом профиля скорости по толщине пленки жидкости, подбирая его таким образом, чтобы он удовлетворял соответствующим граничным усло­ виям.

Радиальную и азимутальную скорости зададим в виде вы­ ражений:

 

 

 

 

0 )

 

г

.

. а ±а 7

14)

 

L

»V

4

 

 

здесь Pro

v 9о — максимальные

скорости на поверхности

 

пленки.

 

 

и (2) с учетом соотноше­

Проинтегрировав уравнения (1)

ний (3) и (4)

по координате г в пределах от 0 до h, получим:

КV;го

&)

Л.-гЛ Р ы,*[4>+ C j 2 (пг) t { ) +

( 6 )

Уравнение расхода неньютоновской жидкости » радиаль­ ном направлении запишем в виде:

■2.lizhV .

: а)

где vr — средняя радиальная скорость,

85

Смотрите также файлы