Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Векторы Aw-=w—Wo и Az = z—z0 составляют с действитель­

вым / и L соответственно в точках zo и Wo с действительной осью. Тогда ф'-мр, Ф'-KD при Az-Я), а потому из ’ (86) полу­ чаем:

нуть касательную к кривой I в точке zo для того, чтобы по­

Ѵ(г0)фО поворачиваются на один и тот же угол Argf^zo). Таков геометрический смысл производной отображающей

функции. Отсюда следует, что в точке z0 функция w = f(z) отображает две произвольные линии, пересекающиеся в точ­ ке zo, и угол между заданными отображенными линиями бу­ дет один и тот же как по величине, так и по направлению от­ счета.

78

z0 и Wo, на рис. 20 не показаны.

Выясним теперь геометрический смысл модуля производ­

отношении в результате отображения изменяется расстояние между этими точками. По этой причине величину |f'(zo)| можно рассматривать геометрически как коэффициент растя­ жения в точке zo при отображении w = f(z). При этом, если |f'(zo)|>l, то в достаточно малой окрестности точки zo рас­ стояние между точками при отображении увеличивается и происходит растяжение; если |f'(zo)|<l, то отображение в окрестности точки z0 приводит к сжатию.

Мы установили, что всякое аналитическое отображение w=f(z) обладает в каждой точке z0, где і'(го)фО, постоян­ ством растяжений и консерватизмом углов. Тогдавсякая бесконечно малая фигура плоскости z, одна из вершин кото­

ной, с точностью до бесконечно малых. Отсюда можно сде­ лать такой вывод: в достаточно малой окрестности каждой точки, где f'(zo)=/=0, аналитическое отображение оказывает­ ся о т о б р а ж е н и е м п о д об и я . Отображения, обладаю­ щие свойством консерватизма углов и свойством постоянства растяжений, называют конформными отображениями первого рода или просто конформным отображением. Таким обра­ зом, на основании полученных результатов приходим к вы­ воду.

Аналитическое отображение w = f(z) конформно в каж­

Справедливо и обратное утверждение: если отображение w = f(z) конформно в области D, то функция w = f(z) являет­ ся аналитической в области D и Г ( г )^ 0 во всех точках этой области. Отображение, отличающееся от конформного тем, что углы сохраняются только по абсолютной величине, но

79

изменяют направление отсчета на противоположное, называ­ ют конформным отображением второго рода.

ским, а следовательно, не является конформным. Можно по­ казать, что w = z является конформным второго рада.

Действительно, если значения z и .w изображать точками одной и той же плоскости, то ввиду того, что точки z и z вза­

но действительной оси, при этом не происходит никакого ис­ кажения масштаба (коэффициент растяжения в каждой точ­ ке равен 1 ), а все углы сохраняются по абсолютной величи­ не, но изменяют направление отсчета на противоположное. Вообще, если отображение w=;f(z) конформно, то .отображечше w=f(z) будет конформным второго рода. Последнее ото­

80

бражение можно представить как суперпозицию отображе­

втором — направление отсчета углов меняется на противопо­ ложное. В результате обоих отображений углы сохраняются но абсолютной величине, а направление их отсчета изменяет­

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Если в области D определены функции F(z) и f(z), кото­ рые в каждой точке этой области связаны между собой соот­ ношением

F'(z) = f(z).

то функция F(z) называется первообразной по отношению к f(z). Задача разыскания по данной функции f(z) ее перво­ образной называется интегрированием функции f(z). Она яв­ ляется обратной операцией по отношению к дифференциро­ ванию. Следующие теоремы помогут выяснить особенности операции интегрирования функции.

ласти является постоянной.

Пусть в области D дана дифференцируемая функция F(z) такой, что F '(z )= 0 . Выделим действительную и мнимую час­ ти этой функции: F(z)=u(x, у)+іѵ(х, у). Производную от функции можно выразить через частные производные ее дей­ ствительной и мнимой частей следующими способами:

Из равенства нулю комплексных чисел следует, что

Последние равенства возможны только тогда, когда

и = А =■ const и V = В = const.

Следовательно,

F (z) — А -j- Ві = const.

Т е о р е м а . Если функции Fi(z) и F2(z) являются перво­ образными одной и той же функции f(z), то они отличаются на произвольное постоянное число.

Пусть в области D даны функции F^z) и F2(z), которые являются первообразными в этой области одной и той же функции f(z), то есть

функция F(z)+ c, в которой с есть некоторое постоянное чис­ ло, будет первообразной для f(z), ибо [F (z)+ c]' = f(z).

2. Если Fo(z) есть какая-либо первообразная для данной функции f(z), то все первообразные этой функции определят­ ся формулой:

F(z) = F0(z) + с ,

где с — произвольное постоянное число.

82