Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

и параметрическое задание L, в правой части последнего равенства криволинейные интегралы преобразуем в опреде­ ленные:

ß

Полученная формула позволяет вычисление контурного ин­ теграла свести к определенному интегралу от функции комп­ лексного переменного z, заданного в параметрической форме:

z(t) = x(t) + iy(t), a < t < ß .

П ри ме р . Вычислить / zdz, где L — ломаная, состоящая

из прямолинейного отрезка, соединяющего точку 0 с точкой

90

1 , и прямолинейного отрезка, соединяющего точку 1 с точ­

§5. Теорема Коши

Втеории аналитических функций и в практических при­ ложениях большое значение имеет теорема, высказанная Ко­

ши, а затем строго доказанная Гурса и другими математи­ ками.

Т е о р е м а . Если функция w = f(z) аналитическая в од­ носвязной области D и на замкнутом контуре L, ограничива­ ющем данную область, то интеграл от этой функции по L равен нулю:

аналитической функции f(z) предположим, что функция f(z)

91

Из курса математического анализа известно, что для равен­ ства нулю криволинейного интеграла

§ Р (х, y)dx -f Q(x, y)dy L

по любому знакомому контуру L, ограничивающему одно­ связную область, достаточно, чтобы подынтегральное выра­ жение было полным дифференциалом или выполнялось ус­ ловие:

дР _ dQ

ду дх

Для интегралов (102) такими условиями являются условия Коши-Римана (100), и, следовательно, оба интеграла (102) обратятся в нуль. Тогда из равенства (101) следует, что

§ f(z)dz = 0 , L

и теорема Коши доказана.

Можно доказать теорему Коши и без предположения о непрерывности производной (как это сделано Э. Гурса), од­ нако при этом доказательство несколько усложнится.

Рассмотрим теперь теорему Коши на случай многосвяз­ ной области. Возьмем трехсвязную область D (рис. 24), граница которой состоит из внешнего контура L и двух внут­ ренних контуров Li и L2, и предположим, что функция f(z) является аналитической как в области D, так и на контурах

L1 и L2.

Проведем два разреза уі и Ѵг и обозначим через Г слож­ ный замкнутый контур, состоящий, из контуров L, Li и L2 и разрезов yt и у2. Область, ограниченная контуром Г, будет односвязной, и по теореме Коши

рис. 24. При таком обходе каждый из разрезов уі и у2 прой­

1.2 — по часовой.

92

где Li и L2— направления, противоположные направлениям

Li и L2.

Теперь мы можем дать следующую формулировку теоре­ мы Коши для многосвязной области. Если функция w = f(z) аналитическая в замкнутой односвязной области D и на сложном контуре Г, ограничивающем эту область, то интег­ рал по внешнему контуру L равен сумме интегралов по всем

внутренним контурам, ограничивающим эту область. При этом как внешний, так и внутренний контуры обходятся ли­ бо по часовой стрелке, либо против.

Рис. 25.

93

В нашем случае обход контуров совершается против хо­

§ 6. Независимость интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница

Покажем теперь, что интеграл от функции f(z), аналити­ ческой в односвязной области D, не зависит от контура (пути) интегрирования, выбранного в этой области, а зави­ сит только от начальной точки Zo и конечной Z.

4

Пусть в области D выбраны два контура интегрирования Li и L-2, имеющие общую начальную точку Zo и общую ко­ нечную точку Z (рис. 26). Эти контуры составляют один замк­ нутый односвязный контур L. По теореме Коши интеграл по этому контуру равен нулю:

94