Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Рассмотрим последовательность точек {zk} —

k

Л

Имеем zk-*-0 при k->-oo. В этом случае е Zk = — >-0при k-»oo.

в) А — любое комплексное число, причем А=/=оо и А #0 . Найдем такую последовательность {zk} точек, сходящую­

Пусть е z = А. Тогда по, определению комплексного лога-, рифма будем иметь

получим последовательность точек, сходящуюся к нулю, удов­ летворяющую условию:

1

f (zk) = е Zk = А.

Следовательно,

1

lim е Zk = А . Zk—0

Выводы

1.В окрестности устранимой особой точки ряд Лорана схо­

135

2. В окрестности полюса г = а функция f(z) неограничен­ но растет.

3. Для любого комплексного числа А в окрестности суще­ ственно особой точки z = а существует последовательность значений аргумента {zn}, сходящаяся к точке а, для которой последовательность значений функции (f(zn)} сходится к А.

§ 8. Теорема единственности и аналитическое продолжение

Мы доказали, что аналитическая в некоторой области D

му, докажем свойство единственности аналитической функции

EcrD, имеющем по крайней мере предельную точку й е D, то

в ряд Тейлора в окрестности точки а, внутри круга радиуса г. Тогда на основании указанной выше теоремы и внутри круга |z—а [^ Г |< г будут справедливы следующие равенства:

136

Из этого равенства аналогично предыдущему получаем а\ —Ь,.

Пусть теперь zo— любая внутренняя точка области D. Сое­ диним а е z0 непрерывной линией L, лежащей внутри облас­ ти D и рассмотрим круг |z —f [ < r 2, где te L , а г2 меньше, чем расстояние между L и границей Г области. Передвигая центр' круга |z —т| < г2 из точки а Вдоль L к точке Zo и повторяя все вышеприведенные рассуждения, приходим к заключению, что f(Zo)=(jP'(z0).

Так каК z0 — произвольная Точка области D, то тем самым теорема доказана полностью, из теоремы единственности, в частности, следует, что две функции, аналитические в некото­ рой области, тождественны на сколь угодно малой площадке, принадлежащей этой области, и даже на сколь угодно малой дуге. С теоремой единственности тесно связано очень важное понятие' аналитического продолжения.

Пусть в некоторой области D задана функция f(z), анали­ тическая в этой области. Задача аналитического продолжения фукции f(z) заключается В таком распространении определе­ ния этой функции на возможно более широкую область, чем область D, где бы эта функция была также аналитической, а в области D совпадала с f(z).

Если такая функция существует, то она называется анали­ тическим продолжением функции f(z). Отметим следующее

137

важное свойство аналитического продолжения. Пусть функ­ ция fi(z) аналитическая в области Di. Построим новую об­ ласть Ö2, имеющую с Di общую часть Dj,2 (рис. 36). В облас­ ти D2 зададим функцию f2(z), аналитическую и совпадающую

Пусть f2 (z) является аналитическим продолжением функ­

в области D i >2 (p(z)=0, так как в этой области f2 (z) = f 2*(z). Тогда в силу единственности аналитической функции следует,

может быть только единственным. • - Простейшим примером аналитического продолжения мо­

жет служить переход от функций действительного переменно­ го ех, sin X, cos X к функциям ez, sin z, cos z комплексного пе­ ременного.

138

Переход этот можно осуществить заменой в степенных ря­

действительного переменного х-комплексным переменным г. Эти функции являются аналитическим продолжением функ­ ций, определенных только для действительной оси на всю комплексную плоскость. При этом ряды эти остаются сходя­

щимися.

Ой

Рассмотрим еще пример степенного ряда Ezn, сходящегося П=0

в единичном круге J z | < 1. В этом круге его суммой является

Хотя вне единичного круга ряд расходится, функцию f(z) можно аналитически продолжить на более широкую область, представляющую всю плоскость, за исключением точки z=l ,

литическая во всей плоскости, кроме точки z= 1 , а внутри кру­

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

ВЫЧЕТЫ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Определение и вычисление вычета функции

139