Файл: Подсолонко, В. А. Технико-экономическая информация в управлении металлургическим предприятием.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
Правило знаков для поперечных сил и изгибающих мо
ментов. Поперечная сила в сечении балки считается положи
тельной, если |
равнодействующая внешних сил слава от сече |
|
ния направлена |
снизу вверх, а справа - сверху вниз; |
и |
отрицательной |
- в противоположном случае. |
|
Изгибающий момент в сечении балки считается положи
тельным, если равнодействующий момент внешних сил |
слева |
от сечения направлен по часовой стрелке, и справа - |
про |
тив часовой стрелки; и отрицательным - в противоположном случае. Эпюра изгибающего момента оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
Зависимость между изгибающим моментом, поперечной си
лой и интенсивностью распределенной нагрузки (теорема Жу равского) . Рассмотрим балку, нагруженную произвольной на
грузкой (рис.2 1 ,е ) . |
Определим поперечную силу в сечении, |
|||
отстоящем |
от левой |
опоры на расстоянии х . Проектируя |
на |
|
вертикаль |
силы, расположенные |
левее сечения, получаем : |
|
|
|
Q x = |
Rcl - Р* |
• |
|
Аналогично вычисляем поперечную силу в смежном сечении, рас положенном на расстоянии х Wx от левой опоры.
Qx + cfQ.*, — Р,а.~ P i+ Ц/(х + Лх ) ■
Вычитая из последнего |
уравнения первое, получим |
|
d Q x - f y d x |
, |
или |
т .е . производная от |
поперечной силы по абсциссе сечения |
|
балки>авна интенсивности распределенной нагрузки. |
||
Вычислим теперь изрибающий момент в сечении с абс |
||
циссой х : |
|
|
M * = R „ x - P > - 6 ) i - f 2 , |
||
и изгибающий момент |
в смежном сечении, отстоящем от левой |
|
100
опоры на расстоянии x + d x :
2
M x + d M x = R a ( x + c l x ) - f t ( x + c t x - & ) +
считаем иг последнего уравнения предыдущее o W ^ R a d x - P id X + C fs X d x ^ d x (R a - P i+ ty /) ,
т.е. производная от изгибающего момента по абсциссе сече
ния балки равна поперечной силе (Теорема Журавского). Итак
с/(3л_ с/2М* |
_ 0 |
’ |
Ш ~ ~ д Р х Г |
~ ^ |
т.е . вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
Полученные зависимости используют обычно при построе
нии эпюр изгибающих моментов и поперечных сил (см.учебник).
Л Е |
К Ц И Я 2 3 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ |
НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ. |
При чистом и плоском изгибе в поперечных сечениях бал ки возникают только изгибающие моменты, действующие в плос
кости, |
проходящей черев |
одну из главных центральных |
осей |
||||
терции |
поперечного сечения балки, в |
данном случае |
ось |
у |
|||
(рис.2 1 ,к ). Если балку с |
нанесенной |
на |
ее |
поверхности |
сет |
||
кой подвергнуть такому изгибу (рис.2 |
1 ,к ), |
то обнаружится |
|||||
следующее: I . Линия I - I |
и 2-2 на поверхности балки |
после |
|||||
деформации повернутся на некоторый угол |
с/у .оставаясь |
пря |
|||||
ными. Испольэуя гипотезу |
плоских сечений |
можно считать, |
что |
||||
поперечные сечения балки, плоские до деформации, останутся
плоскими и |
после |
деформации. |
2. Волокно ав' |
на выпухлой сто- |
|
|
|
|
|
ft |
|
роне |
балки |
удлиняется, что свидетельствует |
о растяжении |
||
•того |
волокна, а |
волокно ef- |
укораичвается, |
что говорит о |
|
101
его сжатии. |
Длина волокна cd остается беа изменения, |
зна |
чит оно не |
испытывает ни сжатия, ни раотяжения. Слой |
балки |
(на уровне этого волокна), не испытывающий на растяжения,ни
сжатия, называется нейтральным слоем. |
|
Линия пересечения нейтрального слоя о плоскостью |
по |
перечного сечения балки называется нейтральной осью(линией).
Итак, из рассмотренных опытов следует, что> наибольшие
деформации испытывают волокна, наиболее удаленные от нейтраль ного слоя.
По высоте сечения |
деформации изменяются по линейному |
||||
закону, что становится |
очевидным, |
если мы |
выразим относитель |
||
ное удлинение волокна |
|
|
|
||
|
в'е"_ |
ё'8"_ У d f |
У |
|
|
* |
аВ |
Cd |
p d f |
р |
* |
где у - расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна,
р- радиус кривизны нейтрального слоя балки.
Принимая гипотезу, что волокна балки не оказывают дав
ления друг на друга, можно считать, что каждое волокно испы тывает только одноосное растяжение или сжатие. Тогда можно применить закон Гука для одноосного напряженного состояния
<3= Е £ = Е ,
т .е . нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного
сечения балки пропорционально раостоянию от нейтральной оси
(ри с.21,к ). Растягивающие напряжения считаем положительными.
Установив закон распределения напряжений можно опреде
лить их величину из уравнений равновесия. Рассмотрим |
рав |
||
новесие |
части балки, находящейся под действием внешнего мо |
||
мента U |
и внутренних сил, возникающих в |
проведенном |
попереч |
ном сечении (рис.2 1 ,к ) ч В общем случае |
необходимо рассмат- |
||
102
ривать шесть уравнений |
равновеоия |
2У |
= 0 ; Е Е = 0 ; ZX = |
0 ; |
Ц1х = 0;2ГМу=0;ГМе = 0 . |
Первые два |
уравнения обращаются |
в |
|
тождества, так как внутренние силы |
& d F перпендикулярны |
|||
к этим осям. Рассмотрим |
третье уравнение: |
|
||
ZX = 0 ; ИЛИ J & d F = 0 ; |
зная <5 = Е |
у |
, получим |
|
|
|
j J y |
d F = 0 > |
|
|
|
но |
, |
так как |
р |
фо , ибо балка |
изогнута. |
|
Следовательно |
J y d F - О . |
|
|
|||
Этот |
интеграл |
представляет собой статический момент |
площа |
|||
ди поперечного сечения |
балки относительно |
нейтральной |
оси. |
|||
Он равен нулю, следовательно,-^нейтральная ось при изгибе про
ходит через центр тяжести сечения.- |
|
|||
Четвертое уравнение ZMx=0 обращается |
в тождество, так |
|||
как внутренние усилия (Sc/F параллельны оси х . |
||||
Пятое |
уравнение |
ZUy дает J gc/Я & = 0 |
или |
|
|
Ц у г ^ |
- О , |
F |
|
но уг ф 0 |
, следовательно |
y z d F = 0 ■ |
|
|
Уу
Интеграл l y z ^ j y z c / F |
|
представляет собой центробежный |
||||
момент инерции сечения |
относительно осей у и 2 . Он равен |
|||||
нулю относительно главных осей инерции. |
||||||
Шестое уравнение |
ZM^fe=0 дает: |
|
||||
M - [ y d F < 5 = 0 ; |
М - -§ / У 1№ =0 ■ |
|||||
Интеграл |
*' |
/ |
|
|
/ |
собой момент инерции |
л ^ = J y td F представляет |
||||||
сечения |
относительно нейтральной |
оси |
Z . |
|||
Примечание. |
Если по одну сторону |
от |
рассматриваемого сече |
|||
ния действует |
несколько |
внешних моментов, то в уравнение |
||||
равновесия войдет их алгебраическая сумма, равная по вели чине изгибающему моменту в данном поперечном сечении. Поэ тому в дальнейшем пишем уже Мизг.
Ю З
Итак, кривизна оси балки при изгибе пропорциональна . изги
бающему моменту и обратно |
пропорциональна |
|
величине |
, |
|||
называемой |
"жесткостью" |
сечения при изгибе. |
|
||||
В уравнение |
с |
У |
подставим |
/ |
Миъг |
|
|
<=>=■£ у |
|
|
|
||||
I ПОЛУЧИМ |
_ |
M ui-L |
, , |
|
|
|
|
Формула позволяет |
определить величину нормального напряже |
ния в любой точке |
поперечного сечения балки по известным из |
гибающему моменту |
и моменту инерции сечения. |
Обозначив |
расстояние |
от нейтральной оси до наиболее |
уда- |
||
ленного |
волокна через |
L . |
(рис.21, к ), подставим его вместо |
||
~ |
|||||
|
6 _ |
Миъг |
_ |
/Vиът. |
|
|
|
Я |
|
|
|
Величина |
^ |
|
называется осевым моментом сопротивле |
||
ния или моментом сопротивления при изгибе. Он является |
гео |
||||
метрической характеристикой поперечного сечения балки, опре
деляющей ее |
прочность |
при |
изгибе. |
Приведем значения момента |
|||
сопротивления для простейших сечений. |
|||||||
Для прямоугольника |
|
|
|
|
|||
|
W t ~ |
h |
~ |
А |
~ 6 |
|
|
Для круга |
|
|
|
|
|
T o l ' = 0,-lof: |
|
|
Wz = |
|
|
= 64 ЫА> |
|||
|
|
|
3 £ |
||||
Условие прочности при изгибе: |
|
||||||
Для прокатных сечений |
(двутавры, |
швеллеры, уголки и т .п .) зна |
|||||
чения |
W g |
указаны |
в |
таблицах сортамента. Для подбора сечения |
|||
балки |
из условия |
прочности получим зависимость : |
|||||