Файл: Подсолонко, В. А. Технико-экономическая информация в управлении металлургическим предприятием.pdf

При делении вектора

У

на скаляр т

получается

новый

вектор, модуль

которого

в

т

раз

меньше, а

направление бу­

дет то же (воли

т > 0)

или прямопротивоположно (еслилкО ).

Таким образом,

при делении или умножении вектора на положи­

тельную скалярную величину изменяется только модуль

этого

вектора, а направление его остается неизменным.

ДийсБеренцирование

переменного

вектора.

Свойства

векторной

производной

Пусть дан

переменный вектор

а , изменяющийся с

тече­

Тогда можно сказать,

что

вектор

а. есть

вектор-функция вре­

мени t , T . e . О. =

<Я ( t ) .

Пусть в моменты времени

t

t 2 t 3 t ^

и т . д .

значения

переменного вектора

будут соответственно

а, а^,

ад и

называется

ГОДОГРАФОМ

этого вектора.

Рассмотрим два каких-нибудь очень

близких момента вре­

мени t

и

t + At

. Значения переменного

вектора

а в

эти моменты

будут, соответственно,

О.

и

о!

. Соединив

точ­

ки годографа

А и А1 ,

из

Д 0ААТ получим,

что

а*=

а

+ АА1

или АА*= а* -

а

,

т .е .

вектор AA^

есть

приращение

вектора а

за

время

,

или

а *

- а = Д а ,

Разделим

приращение вектора д а

на A t ;

получим новый

вектор АВ, направленный так же,

как и АЛ''-

(по хорде AA^ го­

дографа)

т .е .

_

Будем

неограниченно

уменьшать

A t т . е . так ,

что A t — о

Тогда

вектор АВ будет

поворачиваться вокруг

А й в

преде­

ле займет

положение

АС

(рис.8 ,е ), т .е . секущая АВ

займет

положение

касательной АС.

Но предел

отношения

- г -

при At —»-о называется

производной вектора

а

(функции) по аргументу

+ ,

или,

Таким образом, производная

данного вектора есть

новый

вектор, направленный по касательной к

годографу

дифферен­

цируемого

вектора,.

Напомним еще (без доказательств)

некоторые

теоремг

из раздела векторной алгебры.

Теорема I .

Проекция производной данного вектора

на непод­

вижную ось равна производной от проекции этого вектора

на

ту же ось;

т .е . если

О

проекция вектора а на

ось х ,

то

должно иметь место равенство:

—у

—

Пусть

точка М движется по траектории Спо

законуS = S(t)

где

6

-

ОМ - дуговац

координата этой точки, a

Z

-

радиус

V

вектор,

определяющий положение точки М (

рис.9 ,а ) .

Положение

точки М и

радиус-вектор Z меняются во

времени.

Предположим, что

t

получило приращение

д ^ ,

а

точка

М ( t )

переместилась

в

положение М*( t + a t ) . Вектор ММ1,

называемый вектором-перемещением, есть приращение вектора

% за

время

A t

, т .е .

ММ* =ЛЪ

тогда

—

=

Дt

-

-

Д"t

= Vcp

-

средняя скорость.

скорости при

Д +

- 0 ,

т .е .

at-'O

а г _

d г

7 =

At-rOAt

d t

£im

Vcp = Eim

рии в точке М ( т .е .

по касательной к годографу дифференци­

руемого вектора ч ) .

Найдем модуль скорости (численную величину).

п м

л. МГ)' &S _ й,

П М 1

•

V = 6 > 1

— t i m ------ —г" —

С<cm-

i irr

At- , A t

a s a t

a s ^-o a s

A t - * 0

A t

хорде, равен единицу следовательно

р-

М М '_ Р -

м т

'. _— 1/

и т

~7c~ — гх'т

а поэтому

AS-^roй5

dS—о

У=

Ц

с / S

dt

Итак, численное

значение

скорости

будет

d S

V

-

d t

Примечание: знак

производной ^ds

указывает, в какую

Пусть

движение точки

задано уравнениями:

х

= х ( t ) ; у =

у ( t ) ;

Z =

Н ( t );

Найдем скорость точки и направление

вектора скрростиУ

(рис.9 ,б ).

Из рис.9 ,б видно, что проекции

радиуса вектора

точки

х ,у

и Z

. На основании теоремы I (см.лекцию 8)

можно

написать,

что проекции скорости

V =

d t

на

оси х ,у и г

соответственно будут:

v*

d x

V

1/

^

П -

d t