Файл: Нелинейные системы гидродинамического типа..pdf

причем первый из них с точностью до постоянного множителя сов­ падает с кинетической энергией жидкости гироскопа, которая имеет вид

не квадрату момента количества движения, как это имеет место для механического волчка*, а представляет сумму квадратов

Пользуясь законами сохранения, записанными в форме (1. 40) и (1. 41), можно сделать некоторые заключения относительно устойчивости движения жидкого гироскопа. Для этого прежде

и сферы с радиусом М . При перемещении вектора М его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей. Сам факт пересечения обеспечивается очевидными неравенствами

а * < М * < а ? ,

геометрически означающими, что радиус сферы (1. 41) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида (1. 40). В случаях М —а1 или М = а 3 происходит касание сферы эллип­ соидом энергии в точках большой или малой оси, причем точки касания являются точками максимума или минимума энергии

*При движении идеальной жидкости внутри трехосного эллипсоида меха­ нический момент жидкости не сохраняется, и возникают реакции, которые могут быть измерены (см. гл. III).

2* 19

Рис. 3. Фазовые траектории в случае вращения вокруг малой (а) и большой (б) осей

соответственно, и им отвечают стационарные устойчивые вращения жидкого гироскопа вокруг осей М г и М 3, соответствующих наи­ большему и наименьшему значениям / х и /3. В самом деле, при малых отклонениях от этих состояний будут выполняться равен­ ства: М = а 3 -1-8 или М = ах— 8, где 8 — некоторый малый параметр и траектории движения имеют вид замкнутых кривых, окружающих

ось М 3 или М г вблизи соответствующих полюсов эллипсоида, как это показано на рис. 3, а и б. Поэтому движение устойчиво.

В случае если М —а3, геометрическим местом точек пересече­ ния эллипсоида энергии со сферой является две плоские кривые (окружности), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллип­ соида на оси М 2, которые будут, очевидно, седловыми точками.

20

Этому случаю отвечает неустойчивое вращение жидкого гироскопа вокруг средней оси М 2. Действительно, при малом отклонении от указанного состояния, траектории, проходящие вблизи полю­ сов на оси М 2, удаляются на большие расстояния от этих точек. Картина траекторий вблизи седловой точки показана на рис. 4,

а и б.

Таким образом, качественно мы показали справедливость следующего признака устойчивости движения. Для трго чтобы стационарное движение было устойчивым, необходимо и доста­ точно, чтобы энергия имела максимум или минимум па поверх­ ности /=const.

§ 3. Плоское движение под действием периодической силы

Рассмотрим теперь двумерное движение в плоскости х, у не­ сжимаемой вязкой жидкости, возбуждаемое периодической в про­ странстве силой, направленной по оси х и равной 4 sin ру )> 0). Это движение описывается системой уравнений

(1.44)

Здесь и и и]— проекции скорости на оси х и у, Р — давление, р — плотность, V — кинематическая вязкость.

Система уравнений Навье—Стокса и неразрывности (1. 44) имеет стационарное решение, соответствующее ламинарному те­ чению вдоль оси X при постоянном давлении, следующего вида:

и переходя к безразмерным переменным, приведем систему (1. 44) к виду

21

Ф- " — cos у.

Стационарное решение (1. 45), соответствующее ламинарному течению, как показано в работах Мешалкина, Синая (1961) и Юдовича (1965, 1966), в линейной постановке задачи неустойчиво относительно малых возмущений при определенных значениях параметра R . Эти возмущения быстро растут во времени, черпая энергию из энергии течения (1. 45), благодаря чему растут напря­ жения Рейнольдса, описываемые нелинейными членами в (1. 47), что приводит к уменьшению амплитуды ламинарного течения, пока не установится некоторое новое равновесное течение (обычно называемое «вторичным течением»).

Представим гидродинамические поля в виде

Здесь U (у, t) — новый профиль равновесного течения, подлежа­ щий определению наряду с равновесными напряжениями Рейнольд­ са, штрихом обозначены соответствующие конечные возмущения. Будем считать, следуя цитированным выше работам, возмущения гармоническими по х с длиной волны 2 я/а (а > 0 ) . Новый про­ филь течения U (у, t) есть результат усреднения и по а: на расстоя­ нии длины волны.

Легко .видеть, что при а ^ 1 ламинарное течение (1. 45) един­ ственно и устойчиво при всех R (Юдович (1965)), а неустойчивость может проявляться только для возмущений с а <С1.

В соответствии с линейной теорией устойчивости будем на пер­ вом этапе учитывать только нелинейное взаимодействие первой гармоники возмущений со средним потоком, пренебрегая генера­ цией высших гармоник и их взаимодействием как между собой, так и со средним потоком.

где величина <pt_1) комплексно сопряжена к ірш . Тогда из системы (1. 46) получаем систему уравнений для среднего потока и воз-

22

мущений ѵ(1) (после исключения величин Р ! и U ') (Кляцкин

(1972))

уравнением Орра—Зоммерфельда. Аналогичную систему можно, получить и для функции тока.

Для исследования устойчивости ламинарного режима (1. 45)

Изучение системы (1.52) (Мешалкин и Синай (1961), Юдович (1965)) показало, что при некоторых ограничениях на волновое число а и число R существуют вещественные положительные зна­ чения о, т. ѳ. решения неустойчивы. Дисперсионное уравнение для а имеет при этом вид бесконечной цепной дроби, и критиче­

ским числом Рейнольдса является R Kt=\j2 для а -> 0 . Иначе говоря, наиболее неустойчивыми являются длинноволновые воз­ мущения в направлении действующей силы. Поэтому можно считать, что в рассматриваемой задаче существует малый пара­ метр а, что позволяет асимптотически проинтегрировать уравне­ ние Орра—Зоммѳрфельда (Юдович (1966)). Мы не будем подробно останавливаться на этом. Отметим только, что компоненты соб­

применением метода Галеркина с тригонометрическими коорди­

23