ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
52 |
ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ |
Возьмем в качестве вспомогательного гармонический ряд, со ставим соотношение
е" - 1
п
и вычислим его предел, пользуясь правилом Лопиталя (дифферен цированием по п; см. § 6 главы I):
V е |
- 1 |
1- |
" 2 |
, • |
" 1 |
lim |
— : — = |
lim |
—- = |
hm е |
=1. |
л -> с о |
|
л —> о э |
_ 1 |
/1 -*• о э |
|
|
П |
|
/ I s |
|
|
Поэтому ряд (3.17) должен расходиться.
Следующий пример показывает, что признак сравне ния, даваемый теоремой, существенно сильнее, чем приз нак в предельной форме, даваемый вытекающим из тео ремы следствием.
П р и м е р . |
Рассмотрим ряд |
|
|
|
||||
2 - 1 + 2 ^ + 2 4 + |
2 ^ |
+ |
2 4 + |
- - - + 2 ^ T + 2 J |
2 l + --- |
<3 -, 8 > |
||
Отношение |
его члена ип |
к соответствующему |
члену |
гармони |
||||
ческого ряда оп |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
для нечетного п, |
|
|
|
|
— : — = 2 |
|
|||||
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
для четного п. |
|
|
|
|
=- : — = |
2 |
|
|
|||
|
|
. 2я |
|
п |
|
|
|
|
Следовательно, |
отношение —— ни к какому |
пределу |
не стре |
|||||
|
|
|
|
|
мя |
|
|
|
мится. Однако при всех значениях п оно заключено между числами у и 2. Поэтому ряд (3.18) ведет себя так же, как гармонический ряд, т. е. расходится.
Из приведенных выше примеров сходящихся и расхо дящихся рядов можно усмотреть, что сходятся те ряды, у которых члены обнаруживают тенденцию к достаточно
§ 2. ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ |
53 |
быстрому убыванию. (Последний оборот речи, осторож ный и даже несколько громоздкий, употреблен наме ренно: члены сходящегося ряда вовсе не обязаны убы вать монотонно, как это, скажем, видно из последнего примера.) Поэтому сравнение скоростей убывания чле нов различных рядов может быть положено в основу
особого признака |
сравнения. |
|
|
||||
Т е о р е м а |
3 |
(третий |
признак сравнения). Если для |
||||
двух рядов с положительными |
членами |
|
|||||
|
|
"х + " 2 |
+ |
••• |
••• |
(3.19) |
|
и |
|
Ѵг + и2+ |
...+Ѵп+ |
(3.20) |
|||
|
|
||||||
начиная с некоторого п, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3.21) |
то из |
сходимости ряда |
(3.20) |
следует сходимость ряда |
||||
(3.19), |
а из |
расходимости |
ряда (3.19) — расходимость |
||||
ряда (3.20). |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из (3.21) следует, |
что |
|||||
|
|
|
"n |
+ ï |
|
Ü2-, |
(3.22) |
|
|
|
|
|
|
||
- начиная с некоторого п = п0. Это значит, что отношения —, начиная с этого п0, составляют убывающую последовательность. Поэтому, полагая
мы из (3.22) получаем, что при п^п0
и требуемое следует из второго признака сравнения.
54 ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И Ч Л Е Н А М И
§ 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Кошн: )
Пусть дан ряд
их + « 2 + • • • + « и +
Очевидно, каждый его член можно рассматривать как значение функции f от номера члена:
"і=/чП). "г = /(2), ... , un = f(n), ...
Эта функция определена пока только для целых поло жительных значений аргумента. Ясно, что, как-то опре делив значения функции для всех нецелых значений аргумента, больших единицы, мы сможем говорить о функ ции f (х), принимающей значения для любого лгі^ 1. Например, в случае гармонического ряда
Т + І + - + І + -
такой функцией будет
а в случае геометрической прогрессии a, aq, ... |
, aq"-'1 — |
||
показательная функция |
aq*-1. |
|
|
Т е о р е м а (интегральный |
признак сходимости Мак |
||
лорена — Коши). Пусть |
дан |
ряд |
|
"і + « 2 |
+ . . . + « „ + |
(3-23) |
|
члены которого положительны и не возрастают:
|
U-L 2ï и2 |
ип |
... |
|
Пусть, далее |
f — функция, |
которая определена |
для всех |
|
вещественных |
я і г і , непрерывна, |
не возрастает |
и |
|
!{\) |
= иъ f (2) = «2 |
|
f(n) = un, ... |
(3.24) |
1 ) Обычно этот признак называется интегральным признаком сходимости' Коши. В данном курсе мы будем называть его инте гральным признаком сходимости Маклорена — Коши, во-первых, по соображениям исторической справедливости, а во-вторых, чтобы не путать его с другим признаком сходимости Коши, о котором пойдет речь в § 6 этой главы.
§ 3. И Н Т Е Г Р А Л Ь Н Ы Й П Р И З Н А К СХОДИМОСТИ |
55 |
Тогда для сходимости ряда (3.23) необходимо и доста точно, чтобы сходился (существовал) несобственный ин теграл
со
\f(x)dx.
1
До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим ряд, членами кото
рого являются интегралы:
2 |
3 |
л + 1 |
(3.25) |
\f(x)dx |
+ ]f(x)dx+...+ |
] f(x)dx+... |
|
1 |
2 |
п |
|
Частичными суммами этого ряда, очевидно, также будут интегралы:
2 |
л + 1 |
|
л + 1 |
sn = \f(x)dx+ |
... + \ f(x)dx = |
\ |
f(x)dx. |
I |
л |
I |
|
Сходимость ряда (3.25) означает существование предела последовательности частичных сумм, т. е. сходимость (существование) несобственного интеграла
I
с о
\f(x)dx. (3.26)
Вспомним теперь, что функция f (х) монотонна и не возрастает. Отсюда и из (3.24) следует, что для любого X между п и п + 1
(3.27)
Интегрируя каждую из трех частей этого неравенства по X от п до п + 1, мы приходим к неравенству инте гралов
Я+І |
л + 1 |
|
л + 1 |
|
^ undx^ |
I |
f(x)dx> |
^ |
un+1dx, |
п |
л |
|
п |
|
И ЛИ |
|
|
|
|
|
л + 1 |
|
|
|
« л ^ |
I |
f (х) dx>un+b |
(3.28) |
|
56 ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ
Пусть ряд (3.23) сходится. Обратим внимание на ле вую сторону неравенства (3.28). По признаку сравнения (см. § 3) должен сходиться и составленный из интегра лов ряд (3.25), а следовательно, и несобственный инте грал (3.26). -
Пусть теперь ряд (3.23) расходится. Тогда, как было
доказано (см. § 9 |
главы 2), |
расходится и ряд |
« 2 + |
« 3 + ••• + |
« л + і + |
получаемый из нашего ряда отбрасыванием его первого члена. Взглянем теперь на правую сторону неравенства (3.28) и применим снова признак сравнения, но уже в той его части, которая касается расходимости. Мы получим, что должен расходиться ряд интегралов (3.25),
т.е. несобственный интеграл (3.26). Теорема доказана.
§ 4. Применения интегрального признака сходимости
Достоинство интегрального признака сходимости Маклорена — Коши состоит в исключительно высокой его чувствительности. Этот признак четко проводит разли чие между сходящимся и расходящимся рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отли чаются от членов другого.
П р и м е р . В качестве первого примера применения интеграль ного признака сходимости рассмотрим уже исследованные нами ряды
ТГ + - ^ + - + Ж + - |
(3.29) |
Для первого из этих рядов, т. е. для гармонического рядаг /(*) = — ; в этом случае
лл
§ 4. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА |
57 |
Так как In п с ростом п неограниченно возрастает, несобственный интеграл
с о |
п |
[ — = lim [ —
1
расходится. Тем самым должен расходиться и гармонический ряд. |
||||
В случае |
ряда (3.29), |
очевидно, полагаем |
f(x)—~xr- |
Здесь |
|
03 |
с о |
|
|
|
J * |
X I |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
Интересующий |
нас несобственный интеграл сходится, так что схо |
|||
дится и- ряд (3.29). |
тем меньше члены |
ряда |
|
|
Чем больше показатель |
|
|||
|
Т 7 + 1 Г + - ' + 7 ï r + - |
|
( 3 - 3 0 ) |
|||
Поэтому |
при s < 1 члены ряда |
(3.30) |
больше |
соответствующих |
||
членов |
гармонического |
ряда. Значит, |
по теореме § 3 при s < 1 |
|||
ряд (3.30) расходится. |
С другой |
стороны, при s > |
2 члены ряда |
|||
(3.30) меньше соответствующих |
членов |
сходящегося |
ряда «обрат |
|||
ных квадратов» (3.29). Следовательно, при s > 2 |
ряд (3.30) должен |
|||||
сходиться. Очевидно, «граничное» значение s, отделяющее сходя |
||||||
щиеся ряды вида (3.30) от расходящихся, расположено где-то между
числами |
1 и 2. |
|
|
|
|
|
|
|
В действительности |
эта. граница |
проходит через число |
1: для |
|||||
любого s > l ряд (3.30) |
сходится. |
В самом деле, пусть s=l - f - a |
||||||
( а > 0 ) . |
Рассмотрим |
функцию |
|
1 + |
а |
и соответствующий |
несоб |
|
ственный |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
dx |
1 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
а |
|
ха |
а ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 V |
|
Из сходимости интеграла вытекает сходимость ряда. Чувствительность интегрального признака сходимости не исчер
пывается умением различать сходящиеся и расходящиеся ряды вида (3.30). Этот признак способен улавливать и менее заметные отличия в скорости убывания членов рядов.
Заметим, что при любом а > 0 , начиная с некоторого п,
- > — г — > - т т ? Г - |
(З-3 1 ) |