ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
58 |
ГЛ. 3. РЯДЫ С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И Ч Л Е Н А М И |
В самом деле, применяя правило Лопиталя (дифференциро вание по п), мы получаем
|
|
|
|
|
1_ |
|
|
|
|
|
|
Hm |
i ™ . = lim |
п |
= lim |
J L = |
0 . |
|
|||
|
п — со Л а |
л - о о С Ш а 1 |
п —со « / 1 а |
|
|
|
||||
Значит, |
начиная с некоторого |
п должно быть |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1п я < |
па, |
|
|
|
|
|
откуда |
следует |
правое неравенство в (3.31). Левое же неравенство |
||||||||
в (3.31) |
очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ряд." |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 + . . . + ! + . . |
|
|
|
||||
расходится, а ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ц + а |
"Ь 2і + а "^" "• |
я1 + |
а |
'" |
|
|
||
сходится. Что же касается |
ряда |
|
|
|
|
|
||||
|
Т Б Т + |
" з Т п Т + |
'•' + |
( л + 1 ) І п ( л + 1 ) |
+ |
" • ' |
( 3 , 3 2 ) |
|||
то его члены, согласно неравенству (3.31), занимают промежуточ ное положение, и простыми сравнениями решить вопрос о его сходимости нельзя. Однако интегральный признак сходимости может
выручить нас и в этом случае. Возьмем |
функцию |
— j — и вы- |
|||||
числим |
|
|
|
' |
X ІП X І |
||
|
|
|
|
|
|
||
С |
dx |
С |
din s |
= |
in In л — I n |
In 2. |
|
J |
д: In д; |
J |
in А: |
||||
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как
lim In In n — со j
fî —* CO
несобственный интеграл
со
С- dx
j x\nx
2
расходится; значит, расходится и ряд (3.32). Рассмотрим теперь ряд
2 ( 1 п 2 ) і + а + з ( і п 3 ) і + а + "• + ( л + 1 ) 0 п ( л + 1 ) ) і + а + - |
(3 -3 3 ) |
|
§ 4, ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРИЗНАКА |
59 |
||||||||
при а > |
0. |
Возьмем для него |
функцию |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
и вычислим |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|||
с о |
|
|
с о |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
Ô |
dx |
_ |
С |
d\nx |
_ |
|
||||
«" |
(In*)« |
a |
(In 2) а |
|||||||
) x(lnx)1+a |
~ |
J |
( l n x ) 1 + K |
~ ' |
||||||
Из сходимости этого несобственного интеграла следует сходимость ряда (3.33). /
С другой стороны, для ряда
1 |
+M; |
1 |
' '" |
|
ЗІпЗ In In 3 |
In 4 In In 4 |
|
||
|
|
|
1 |
(3.34) |
|
|
•"' ^ |
(іг+2) In (іг+2) In In (n+2) |
|
|
|
|
рассмотрение функции
|
|
|
|
f(x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
X In л: In In X |
|
||
и |
интеграла от нее |
|
|
|
|
|
||
л |
|
|
л |
|
|
|
|
|
Г |
dx |
|
Г |
dlnx |
_ |
С |
d In In л: |
|
j |
л; In A; In In дг |
J |
In л; In In x |
~ |
j In In x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
In In In n—In In In 3 |
приводит к неограниченно |
возрастающей функции" от л, так что |
|||||||
несобственный |
интеграл |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
j A; In д.-In In. |
|
|||
расходится, вследствие чего расходится и ряд (3.34). |
||||||||
|
Идя по этому |
пути, можно строить примеры все более мед |
||||||
ленно сходящихся |
рядов, |
равно |
как примеры все более лениво |
|||||
расходящихся |
рядов. |
Интегральный |
признак |
Маклорена — Коши |
||||
будет неизменно распознавать их сходимость |
или расходимость. |
|||||||
СО |
ГЛ. 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ |
|
§ 5. Признак сходимости Даламбера |
На |
основе третьего признака сравнения легко фор |
мулировать и доказывать весьма удобные признаки схо
димости. Рассмотрим один |
их них. |
Даламбера). Если |
|||||||
|
Т е о р е м а |
(признак |
сходимости |
||||||
для |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui + u a |
+ . . . + « « + . . . |
|
(3.35) |
|||
с положительными членами, |
начиная |
с некоторого |
номера |
||||||
п0 |
отношение |
(/г+1)-го |
члена к |
предыдущему, |
" п + 1 , |
||||
не |
будет |
превосходить |
некоторого |
числа |
q<l, |
т. е. |
|||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ ± 1 ^ < 7 < 1 , |
|
|
(3.36) |
|||
|
|
|
" л |
|
|
|
|
|
|
то |
ряд (3.35) |
сходится. |
|
начиная |
с некоторого |
||||
|
Наоборот, |
если для ряда (3.35), |
|||||||
номера п0, |
отношение |
(п+1)-го |
члена к |
предыдущему, |
|||||
^ ± 1 , будет не меньше |
единицы, |
т. е. если |
|
||||||
|
|
|
• ^ - ^ q > h |
|
|
|
(3.37) |
||
|
|
|
" л |
|
|
|
|
|
|
то |
ряд (3.35) |
расходится. |
|
|
|
|
|
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
выполняется |
условие |
|||||
(3.36). Возьмем в третьем признаке сравнения в качестве
вспомогательного ряда |
•> |
|
|
+ |
... |
+ѵп+ |
... |
сходящуюся геометрическую |
прогрессию |
||
q + q2+ |
|
...+qn+ |
|
В этом случае неравенство (3.36) может быть записано как
- "п+і |
_ " л + 1 |
§ 5. ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ДАЛАМБЕРА |
61 |
Это значит, что согласно третьему признаку сравнения
ряд |
(3.35) |
сходится. |
|
|
|
|
|
Пусть |
теперь выполняется |
условие (3.37). Возьмем |
|||
в третьем |
признаке сравнения в |
качестве ряда |
||||
|
|
|
"і + |
«2 + ••• |
+Чп+ |
••• |
расходящийся |
ряд |
|
|
|
||
|
|
|
1 + 1 + . . . + 1 + . . . , |
|||
а в |
качестве |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
Ѵі + |
Ѵ2+ ... |
+ и „ + ... |
|
— исследуемый ряд (3.35). В этом случае неравенство (3.37) переписывается как
«л — vn '
и ряд (3.35) расходится согласно третьему признаку сравнения.
С л е д с т в и е . Если |
для |
ряда (3.35) отношение |
|||||
стремится к |
некоторому |
пределу, |
меньшему |
единицы: |
|||
|
|
П т ^ ± ± |
= |
г < 1 , |
(3.38) |
||
|
|
л - »оо |
и л |
|
|
|
|
то этот |
ряд |
сходится. |
стремится к пределу, |
большему |
|||
Если |
это отношение |
||||||
единицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim üo±L = |
r > |
l , |
|
||
|
|
Л - Ѵ О О |
" Л |
|
|
|
|
то ряд расходится
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предельное соотношение(3.38) означает, что, начиная с некоторого места, все отноше ния вида " л + 1 будут достаточно близкими к значению
предела г и, в частности, не будут превосходить неко торого числа q, лежащего между г и единицей. После сказанного нам остается сослаться на'только что дока занную теорему.
Случай г> 1 рассматривается аналогично.