ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
62 |
ГЛ. 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ |
Пр и м е р ы.
1.Для ряда
1 |
4 з |
1 з б _ 5 з +-...+ |
1 |
з)з |
(3.39) |
3 4 _ |
З п + з _ ( , г + |
||||
|
|
|
|
|
мы имеем
W - . 3 " + 3 - ( t t + 3)!i
|
|
|
ип |
|
3"+* —(п + 4)3 |
|
||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
" я + і = |
lim |
|
Зп — п3 |
^ |
1 im |
3« |
|
л —со |
и. |
Л-ООЗЛ+1_(„-)_1)3 |
Л-СО |
( я + 1 ) 3 ' |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 " ~ |
Но, |
применяя правило |
Лопиталя |
(с троекратным |
дифференциро |
||||
ванием каждый раз), |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
£- = lim |
3" |
= 0. |
|
|
|
|
|
п -+ со оп |
Л-*-CS |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
^ ± |
< |
1, |
|
|
|
|
|
л-»оо ип |
|
|
|
||
так |
что ряд (3.39) |
сходится. |
|
|
|
|||
|
2. Следующий |
пример |
показывает, |
что, как и в случае вто |
||||
рого признака сравнения, описывающая признак сходимости
Даламбера теорема существенно сильнее |
вытекающего из нее след |
||||||||||
ствия, т. е. что существование |
стоящего в отношении (3.38) пре |
||||||||||
дела для сходимости |
ряда не обязательно. |
|
|
||||||||
|
Рассмотрим ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
1 |
|
+ |
; |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
2-3 |
22 • 3 |
|
2а • З2 |
2А -3* |
|
2* +1. з* |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Для |
этого |
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
2*+і.3ft+i+ |
(3.40) |
|
|
|
|
|
|
у , |
если |
|
четное, |
|
|
|
|
|
|
|
|
п + |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
если |
п нечетное. |
|
||
Следовательно, |
отношение |
ни |
к |
какому пределу |
не стре |
||||||
мится. Так как вместе с тем оно для всех номеров не превосхо дит половины, в силу теоремы ряд (3.40) сходится.
|
|
|
.§ |
6. П Р И З Н А К |
сходимости |
коши |
|
|
63 |
|||||
|
|
|
§ 6. Признак сходимости Коши |
|
|
|
||||||||
Сравнение |
рядов |
с |
прогрессиями |
приводит |
еще |
|||||||||
и к |
другому |
признаку |
сходимости, |
|
принадлежащему |
|||||||||
Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
для |
||
Т е о р е м а |
(признак |
сходимости |
Коши). |
|||||||||||
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иі + |
« 2 + .-. + |
и» + ... |
|
|
(3.41) |
|||||
с положительными |
членами, |
начиная |
с |
некоторого |
но |
|||||||||
мера |
По, корень у' ип не будет |
превосходить |
некоторого |
|||||||||||
числа |
q<.l, |
т. е. если |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
¥~û~n^q<\ |
|
|
|
( n > n 0 ) , |
|
(3.42) |
||||
то ряд |
(3.41) |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
с |
другой |
стороны, |
для ряда |
(3.41), |
начиная |
||||||||
с некоторого номера п0, |
корень у ип |
будет |
не |
меньше |
||||||||||
единицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yun^\ |
|
|
|
(пШп0), |
|
|
|
|
||
то ряд |
(3.41) |
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Ограничимся |
рассмотрением |
||||||||||||
ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иПо.+ |
иПо + ] + ... |
|
|
|
(3.43) |
||||
Из (3.42) мы в |
первой |
части |
теоремы |
имеем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
un„^qn\ |
|
un, + 1^qn° |
+ i, |
|
|
|
|
|
|||
т. е. члены ряда (3.41) |
меньше соответствующих |
чле |
||||||||||||
нов' геометрической |
прогрессии |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
qn°, |
q"°+ |
i, |
|
|
|
|
|
|
|
которая |
ввиду |
того, что q<.\, |
|
сходится. Нам остается, |
||||||||||
как и при доказательстве признака сходимости Даламбера, сослаться на возможность отбрасывания конечного числа членов ряда и на признак сравнения.
64 |
ГЛ . 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И Ч Л Е Н А М И |
Случай расходимости разбирается аналогично. Подобно признаку сходимости Даламбера признак
сходимости Коши имеет следствие в предельной форме: если для ряда (3.41)
lim Уип = д,
то при <7<1 этот ряд сходится, а при q>l— расхо дится.
П р и м е р . Рассмотрим ряд
Для этого ряда
lim |
л/ПЩл |
„ - со V |
\2л + 1/ |
ипоэтому он сходится.
§7, Чувствительность признаков сходимости
Даламбера и Коши
Мы видели |
примеры весьма медленно |
сходящихся |
и весьма медленно расходящихся рядов. |
В их число |
|
прогрессии не |
входят: если в прогрессии |
знаменатель |
меньше единицы, то прогрессия относительно быстро сходится. С другой стороны, если знаменатель прогрес сии не меньше единицы, то прогрессия расходится весьма быстро: частичные ее суммы, начиная с некоторого места, растут во всяком случае не медленнее, чем линей ная функция.
В связи со сказанным едва ли можно надеяться, что основанные, по существу, только на свойствах прогрес сий признаки сходимости Даламбера и Коши окажутся особенно чувствительными.
Действительно, рассмотрим снова гармонический ряд
§ 7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПРИЗНАКОВ сходимости |
65 |
и ряд «обратных квадратов»
Расходимость первого и сходимость второго из этих рядов уже устанавливались нами дважды и в том числе, при помощи интег рального признака Маклорена —Коши. Посмотрим, как работают применительно к этим рядам признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера в каждом из этих случаев дает нам
|
|
|
lim |
|
lim _ ü - = l |
|
|
||
|
|
|
л ->• со |
U.,1 га -* со Л -|- 1 |
|
|
|||
|
|
|
lim ffn±i= lim , " 2 |
=1 |
|
|
|||
|
|
|
га-* со |
|
|
|
|
|
|
т. е. не приводит к определенному |
ответу. |
|
|
||||||
Признак |
Коши для гармонического |
ряда дает |
|
||||||
|
lim |
1 п у Ч І = |
lim |
± i n l = — lim i |
ü = |
o, |
|||
откуда |
rt-»-00 |
|
|
Я - + С О |
П |
tl |
п-*оо П |
|
|
|
|
|
|
lim |
y/"u^=l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
П CO |
|
|
|
|
|
Вместе с тем и для ряда |
«обратных |
квадратов» |
|
||||||
|
lim |
In |
lim 1 in 4- = — |
l i m 2 — |
= |
0, |
|||
|
n-foo |
|
|
л - ю о Я |
Пг |
n — co |
П |
|
|
так что и в этом |
случае |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
y r u „ = l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
n-*oo |
|
|
|
|
|
Таким образом, даже столь |
резко |
отличающееся друг от |
|||||||
друга поведение этих двух рядов неразличимо для признаков Даламбера и Коши.
При этом все-таки признак Коши несколько чув ствительнее, чем признак Даламбера. Это можно усмот реть из следующего примера. • -
П р и м е р . Рассмотрим ряд
3 н. н. Воробьев
66 ГЛ. 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
В этом ряде
3" прп четном л,
2" при нечетном п.
Здесь, очевидно,
при четном л,
и,
при нечетном л.
Таким образом, отношение |
- все время «перескакивает» через |
ип
единицу, и признак Даламбера здесь неприменим. Вместе с тем признак Коши дает нам
при четном л,
при нечетном »
и тем самым указывает на сходимость ряда.
§ 8. Сравнительная оценка различных признаков сходимости
Качество признака сходимости определяется его широтой (применимостью), практичностью и чувствитель ностью.
Широта признака сходимости характеризуется клас
сом тех рядов, к которым этот признак |
применим. |
|||||
Например, |
критерий |
сходимости Кошл |
применим ко |
|||
всем вообще |
численным рядам; |
большинство |
приведен |
|||
ных в этой |
главе |
признаков |
сходимости |
применимо |
||
к рядам |
с |
положительными |
членами; |
интегральный |
||
признак'Маклорена — Коши применим к рядам, в кото рых положительные .члены монотонно убывают с увели чением их «омера. Всякая попытка анализа сходимости ряда при помощи того или иного признака должна
начинаться |
с проверки того, входит ли |
исследуемый |
ряд в сферу |
применимости используемого |
признака. |
§ 8. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА РАЗЛИЧНЫХ ПРИЗНАКОВ 67
После того как мы убедились, что выбранный признак сходимости применим к интересующему нас ряду, сле дует подумать о том, как выглядит это применение на практике. Соображения удобства, простоты, а иногда и самой фактической возможности применения призна ков сходимости обычно играют важную роль.
Рассмотрим, например, ряд
. ' "-L + -L+ +-L +
e i . t - ^ - r . - . - r - ^ - r - - . .
Для установления его сходимости при помощи интег рального признака следует доказать сходимость несоб ственного интеграла
\ е-*' сіх.
Можно, конечно, заметить,- что
со
$ е-х\ ах < \ е-*2 dx,
1 - 0
а последний интеграл есть -так называемый интеграл
Пуассона, который |
равен |
(вычисление |
этого ин |
теграла приведено |
в § 5 главы |
11). Однако, |
для того |
чтобы это сделать, нужно либо помнить значение интег
рала Пуассона, |
либо уметь |
его вычислять. Что же |
|
говорить, например, о ряде |
, |
|
|
• e i ' + V i |
^+Ѵг |
en*+Yn |
" " |
для которого интегральный признак Маклорена — Коши
оо |
dxl |
требует работы с интегралом $ е~хг-^ |
|
I |
|
Вместе с тем очевидно, что при п > 1
- < -
дП'+Yn
3*
68 ГЛ. 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
так что по первому признаку сравнения оба рассмат риваемых ряда сходятся (ибо сходится геометрическая прогрессия со знаменателем 1/е).
Таким образом, путь непосредственного вычисления интеграла при применении интегрального признака схо димости не всегда приемлем. Правда, иногда можно прийти к цели путем каких-нибудь косвенных оценок величины этого интеграла, но это обычно представляет собой самостоятельную задачу, часто даже более труд ную, чем анализ самого ряда.
Следовательно, при изучении рядов ограничиться одним только интегральным признаком сходимости
нельзя, и необходимо овладеть еще другими |
признаками |
||||
сходимости, |
быть |
может, не |
столь |
чувствительными, |
|
как интегральный |
признак, |
но зато |
более |
удобными |
|
в обращении. |
|
|
|
|
|
Наконец, |
для того чтобы применение признака схо |
||||
димости было не только возможным, но и действительно приводило к цели, признак должен быть достаточно
чувствительным. |
Примеры, приведенные |
в |
§§ 5 — 7, |
и показывают, |
что признаки Даламбера |
и Коши, при |
|
всей их широте |
и практичности недостаточно |
чувстви |
|
тельны. Идеально чувствительными признаками являются «необходимые и достаточные» признаки, как, например, критерий Кошн и интегральный признак. Однако все такие признаки, если только они достаточно широки, неизбежно оказываются непрактичными.