Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛ. 3. Р Я Д Ы С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ

(ввиду сходимости обоих рядов оба написанных пре дела существуют), т. е. s ^ t .

Пусть теперь ряд (3.1) расходится. Это значит, что его частичные суммы неограниченно возрастают. Но тогда, в силу (3.4), должны неограниченно возрастать и частичные суммы ряда (3.2), который тем самым рас ходится.

П .р и м е р ы.

1. Рассмотрим ряд

і + . . . (3.5)

(мы будем в дальнейшем называть его рядом «обратных квадра тов»). Отбросив первый член этого ряда (что, как известно, не сказывается на его сходимости),- сравним его с рядом

-	L • J - +	I	1	I
1	• 2 " г 2 - 3 " г	"•"'"/г		f

сходимость которого нами уже была установлена. Мы видим, что (я+1) *• <~•- л ( /1 і + 1 Г

Следовательно, н ряд (3.5) сходится. Как будет видно далее

(см. § 11 главы 9), сумма этого ряда равна -g-.

2. Рассмотрим ряд

			Т + Т + Т + - + Т + - - .
который обычно			называется		гармоническим.
	Заменим в		гармоническом			ряде третий и	четвертый члены
на	1 / і	каждый,	следующие		4	члена —на Ѵв	каждый;	следую
щие 8 —на Vie и т. д. В результате мы получим ряд								12
1	- r 2	- r - 4 - r 4 , 8		- r - 8	- r 8 - r 8 - r -
		+	Ï 6 +	• • • + Т 6	+	З І +	•••	( 3 - 6 )
			8 членов			16 членов

Члены этого ряда не превосходят соответствующих членов гармо нического ряда. Поэтому для доказательства расходимости гармо нического ряда достаточно - установить расходимость ряда (3.6). Чтобы. сделать это, объединим группа одинаковых членов ряда

		§ 2. ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ	49
(3.6) в	один	член нового ряда. Так как каждая k-я группа нас
читывает	2к~2	членов, а каждый член ее равен J c r j , сумма членов

в каждой группе равна ѴгНовый ряд получается таким:

1 + 1 + 1 + 1 +

		1 ^	2 ^		2 ^		2	т
и, очевидно,		расходится.	Таким			образом, ^по следствию теоремы
1 § 8	главы	2 расходится	и	ряд		(3.6),		а потому	и гармониче
ский ряд.
3.	Рассмотрим ряд
		sin 1 + sin ~		+	. . . +		sin 1 + ...		(3.7)
Так как
			•	1		1
			s m	"if <		т ,
члены	ряда	(3.6) меньше соответствующих членов							ряда обратных
квадратов. Следовательно, этот ряд сходится.
4.	Пусть	нам дан ряд
		t g y + tg-g-H-			. , . +		tg - i - + . . .		(3.8)

Поскольку

і1 1

члены ряда (3.8) больше соответствующих членов гармонического ряда. Поэтому ряд (3.8) расходится.

Т е о р е м а 2		(второй		признак		сравнения). Пусть
		«і +	"2 +	. .. +	«„ + ...		(3.9)
и
		Ol +	Ds +	. . . +	Ü„ + ...		(ЗЛО)
— два ряда, причем можно указать						такие постоянные
/ г > 0 и К,	что,	начиная		с некоторого п,
			k ^	^ K .			(3.11)
Тогда	ряды	(3.9)	и	(3.10)	одновременно		сходятся
или одновременно		расходятся.

ГЛ. 3. РЯДЫ	С П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы М И ЧЛЕНАМИ
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Из	(3.11)	следует,	что
	кѵп<ип<Кѵп.				(3.12)
Если ряд (3.9)	сходится,		то из	левого	неравенства
в (3.12) согласно первому		признаку сравнения вытекает
сходимость ряда

kv1-{-kv2 + ... + kvn + ...


Отсюда		на	основании	дистрибутивного	закона	для
рядов		(см.	теорему 2 § 8 главы 2) следует		сходимость
ряда	(3.10).		Поэтому если ряд (3.10) расходится,			то и
ряд	(3.9) также должен			расходиться.

Если сходится ряд (3.10), то по дистрибутивному закону для рядов должен сходиться ряд

Кѵ1 + Кѵ2 + ...+ Кѵа + ...,

и, следовательно, по первому признаку сравнения/ на основании правого неравенства в (3.12) —ряд (3.9). Значит, из сходимости ряда (3.9) следует сходимость ряда (3.10).

Пр и м е р ы .

1.Рассмотрим ряд

1	'	1	/ г	+ • • • + ^	~ ^ + •••	(3.13)
1 2 - Ѵ г Т		2 2 - 2	/ г	_ ' " ^ л 2	- л / 2

и сравним его с рядом обратных квадратов (3.5). Отношение

1
л2 —л/2	л2	1
J _	л 2 - л / 2	1_
л2		2л

ограничено сверху числом 2. Поэтому из сходимости ряда обрат ных квадратов следует сходимость ряда (3.13).

2. Рассмотрим ряд

s i n y + sin-g-+		. ' . . + ! + . . .	(3.14)
Составим отношения	соответственных членов		этого ряда и
ряда (3.8):
.	1
sm —		1
	л	1
,	:— =	cos —.
,	1	п

									1
		§ 2. ПРИЗНАКИ					СРАВНЕНИЯ				51
Ввиду	того,	что при любом		целом			п >	1
			-рг- <		COS — <			1,
			2			п
ряд (3.14) ведет себя			так же, как и ряд (3.8), т. е. должен								расхо
диться.
3.	Аналогично анализируется						ряд			у
		t g \| 2	+ t g y 2 +		.. . + t g ~ + . . .					.	(3.15)
Составив		отношения членов				этого		ряда и ряда		(3.7), мы полу
чаем
			.	1			,
			sin	-s			,
			, 1	rfiг	=	cos 1		- j -	'
			, 1				rfi		'
			tg	-s