Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Доказанные теоремы открывают возможности почлен­ ного интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Мы обсудим эти возможности раздельно для слу­ чаев вещественных и комплексных степенных рядов.

§6. Вещественные ряды

Те о р е м а (о почленном интегрировании степенного ряда). Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последова­ тельность интегралов от частичных сумм ряда схо­

ряда, составленного из производных членов. Для слу­ чая степенных рядов это условие внутри интервала

вторая часть теоремы следует из первой ее части. Дей­ ствительно, раз ряд (6.11) имеет радиус сходимости R, согласно теореме о равномерной сходимости, он схо­ дится равномерно в любой замкнутой области интервала

112 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ. ВОПРОСЫ

сходимости ряда (6.10). Следовательно, мы можем сослаться на общую теорему о почленном дифференци­ ровании функциональных рядов.

Нам остается найти радиус сходимости ряда (6.11).

пСО

Это значит, что при любом е > 0 для достаточно боль­ ших п

| a „ x « | < 8 .

Далее, мы имеем

.. 1 д.'"-1

\папхпй~11 = па„г

Следовательно, члены ряда

начиная с некоторого места, становятся меньше соот­ ветствующих членов ряда

Применяя к последнему ряду признак сходимости Даламбера, мы получаем

Следовательно, ряд (6.13) сходится. Поэтому схо­ дится и ряд (6.12). Значит, по теореме Абеля сте­ пенной ряд (6.12) сходится в круге радиуса г рав­ номерно.

Но число г может быть выбрано сколь угодно близ­ ким к числу R. Это и означает, что радиус сходимости ряда (6.12) равен R.

§ 7. Комплексные ряды

Теорема о почленном интегрировании степенного ряда в комплексной области формулируется и доказы­ вается практически так же, как и для случая вещест­ венной области. Это объясняется тем, что интегралы

ѵв комплексной области имеют много общего с обычными интегралами (особенно, если сравнивать их с криво­ линейными интегралами).

Теорема о почленном дифференцировании степен­ ного ряда в комплексной области является существенно более .сложной, чем в вещественном случае. Мы огра­ ничимся здесь лишь ее формулировкой.

Т е о р е м а . Если комплексный степенной ряд схо-• дится равномерно на некотором контуре, то внутри

114 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

Вместе с тем этот ряд сходится равномерно в любой замкну­ той области внутри своего круга сходимости и в том числе на любой окружности вида | г | = р < 1 . Следовательно, ряд (6.14) можно дифференцировать в его круге сходимости, отступая внутрь его сколь угодно мало.

§ 8. Разложение функций в степенные ряды

Сумма всякого сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри круга схо­ димости этого ряда (а также, быть может,' еще и в неко­ торых точках его границы).

В связи с этим возникают две задачи. Во-первых, можно по заданному ряду искать ту функцию, которой равна его сумма в области сходимости ряда. Эта задача называется суммированием сходящегося ряда. Во-вторых, можно по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в области сходи­ мости равнялась бы заданной функции. Эта задача называется разложением функции в ряд.

Сейчас мы займемся вопросами разложения функций в степенные ряды. В дальнейшем будут рассматриваться также разложения функций в тригонометрические ряды,

Ясно, что подстановкой y — z — a второй из этих рядов превращается в первый. Поэтому если круг сходимости первого ряда состоит из всех точек, для которых \z\t==R, то по тем же самым причинам круг сходимо­ сти второго ряда состоит из всех тех точек у, для ко­ торых \y\^R, т. е. \г — a\-^R. Иными словами, на комплексной плоскости, на которой изображается неза­ висимая переменная г, круг сходимости ряда (6.16)

путем сдвига интервала сходимости ряда (6.15) на а

Очевидно, между а я х функция <р (у) непрерывна и диф­ ференцируема.