Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 105

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 10. ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

101

также сходится равномерно и имеет

пределом

X

 

$ s (х) dx.

(5.38)

а

 

Но ввиду (5.36) интегралы (5.37) являются частичными

суммами

ряда

(5.35).

Тем самым доказаны

равномер­

ная

сходимость ' ряда

(5.35) и- равенство

его суммы

интегралу (5.38).

 

 

 

 

 

 

 

.

Переход

от

ряда

(5.34) и его суммы к ряду (5.35)

и его сумме

называется

почленным

интегрированием

ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р .

Функциональный

ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

l — * a + r » — * » + . . . + (— \)пх2П

+ ...

(5.39)

сходится

равномерно при | л г | < а < 1

и, как легко

видеть (наш

ряд

является

геометрической

прогрессией),

сумма его равна

 

 

 

 

 

 

 

1

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + * 2 1

 

 

 

 

 

Следовательно, получаемый почленным интегрированием ряда

(5.39) от 0 до х<

1 ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X3

, X*

 

. ,

„ „

* 2 П + 1

 

 

 

 

 

х - ï +1 i c ~ . . .1+v

( - l ) n

 

' •••

 

 

 

 

 

 

3

5

" •

 

' 2n+l

 

 

также равномерно

сходится при | х | <

а <

1, и его сумма

равна

 

 

 

 

X

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

arctgx.

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В качестве второго примера почленного

интегрирования

ряда

можно вспомнить выведенную

в § 5 главы 1 формулу

 

 

 

* +

X* .

X-1-3

і-л+1

 

 

 

 

 

 

¥

+ T + . . . + Ï Ï T T + . . . = - l n (! _ *) .

 

 

 

 

§

10. Почленное дифференцирование

 

 

 

 

 

 

функциональных

рядов

 

 

 

Т е о р е м а

(о почленном дифференцировании рядов).

Пусть ряд

 

и1(х) + и2(х) + ... + иа(х)+...

(5.40)

 

 

 

 

102

ГЛ. 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

сходится на сегменте [а, Ь], имеет сумму s(x), а его члены имеют на этом сегменте непрерывные производ­ ные, причем составленный из этих производных ряд

 

 

 

 

и\ (х) -Ь «g (х) + . . . -f- и'п (х) - f . . .

(5-41)

сходится на

[а, Ь] равномерно

и

имеет сумму а (х).

 

Тогда

ряд (5.40)

сходится

на [а, р] равномерно и

производная

его суммы

равна

сумме ряда

(5.41):

 

 

 

 

 

 

 

~s(x)

=

o(x).

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

sn(х) — п-я

частичная

сумма ряда (5.40). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Sn

(х) =

(«, (л-) + . . . + ип

(х)У =

и\ (х) +...

+ и'П (х)

будет,

очевидно, п-н частичной

суммой ряда

производ­

ных (5.41).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

условию теоремы последовательность

 

 

 

 

 

s1{x), s2{x)

 

 

sn(*)>•••

 

(5.42)

частичных сумм ряда

(5.40) сходится на сегменте fa, b],

а

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s[(x),

s*(x),

...

,

s'„(x), ...

 

(5.43)

частичных сумм также сходится на этом

отрезке и

притом

равномерно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

на

основании

теоремы

о

переходе

к

пределу

под

знаком

производной (см. § 6) последо­

вательность

(5.42)

сходится равномерно и

производная

ее

предела

равна

пределу

последовательности

(5.43).-

на

П р и м е р .

Заменяя

в

ряде

из

примера § 9 переменную х

—X,

мы получаем ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In (

1 =

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

Из

него

без труда

получается, что

 

 

 

 

 

 

 

* 1 п ( 1 + х ) =

х а - у + С - . . . +

 

 

(5.44)

§ 10. ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

ЮЗ

Справа здесь стоит некоторый

ряд. Продифференцировав

его

почленно, мы получим

 

 

Поскольку здесь

 

 

п + 2

 

 

п + 1

( я + 1 ) а - 1 X,

 

п + 1

( п + 1 ) 3

 

этот -сяд сходится абсолютно и равномерно для всех 1 х | < а < 1. Следовательно, написанный ряд производных сходится к произ­ водной от суммы ряда (5.44):

2 , _ 3 ^ V f - .

. . + ( - i ) - ( ^ + . . .

=

 

 

1 + *

-In (1+*).

(5.45)

 

 

 

Эта сходимость

равномерная при всех

| * | < а < 1 .

 

Г Л А В А 6

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

 

§ 1. Определение степенного ряда

 

О п р е д е л е н и е .

Функциональный

ряд

вида

 

 

a0 + alz

+ a.2z* + ... + anz"

+ ...,

 

(6.1)

где

а0, аъ аъ ... не

зависят от

переменной

z, называ­

ется

степенным

относительно

переменной

z

рядом.

Числа а0, ах, а2, ... называются коэффициентами

этого

ряда.

 

 

 

 

 

 

Так как обычно бывает ясно, по какой

переменной

функциональный

ряд является

степенным,

мы

будем

впредь говорить просто о степенных рядах.

Как и в случае общих функциональных рядов, можно говорить о вещественных и о комплексных сте­ пенных рядах.

Именно, если переменная г может принимать ком­ плексные (и в том числе вещественные) значения, а коэффициенты ряда — комплексные числа, то степенной ряд называется комплексным.

Если же значения г могут быть только веществен­ ными, а коэффициенты ряда— тоже вещественные числа, то степенной ряд называется вещественным.

Промежуточный случай, когда значения z должны быть вещественными, а коэффициенты ряда могут быть • комплексными (ап = Ьп-\- ісп), не представляет большого интереса: обычно в этом случае всю нужную информа­ цию о ряде

Фо + /со) + (Ьі + 'Сг)г + ... + (bn + ісп) zn +.

§ 2. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ

105

можно получить, рассматривая порознь два веществен­ ных ряда

Ь0 + Ь1г + ... + ЬягА + ...

и

c0 + c1z + ... + cnzn + ...

Далее в этой и в следующих главах мы будем рас­ сматривать как комплексные, так и вещественные сте­ пенные ряды. Разумеется, что каждый раз, когда это необходимо, мы будем оговаривать, с какой областью значений переменных мы имеем дело. Кроме того, как это обычно принято, переменная, принимающая ком­ плексные значения, будет обозначаться буквой z, а переменная, принимающая только вещественные значе­ ния, — буквой X.

При тех или иных конкретных значениях г0 , при­ нимаемых переменной z, ряд (6.1) превращается в чис­ ловой ряд

a0

+ a1z0

+ ... + a„zS + ...,

(6.2)

члены которого, вообще говоря, комплексные

числа.

О п р е д е л е н

не.

Числовой

ряд (6.2)

сходится

абсолютно, если

сходится ряд

 

 

|Ool +

|ûiZol + . . . + | a n Z S | - T - . . . ,

 

составленный из модулей членов ряда (6.2).

 

Очевидно, сформулированное

определение

абсолют­

ной сходимости совпадает с приведенным в § 1 главы 4.

§ 2. Теорема

Абеля

 

Области сходимости

степенных рядов устроены до­

вольно просто. Они описываются следующей

теоремой.

Т е о р е м а А б е л я

Если

степенной'ряд

 

a0 + a1z + ... +

anz" + ...

(6.3)

сходится при некотором z=z0, то он сходится абсо­ лютно при всех значениях z, для которых

И < | г 0 | .

106

ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

то

Наоборот, если

ряд (6.3) расходится

при z — z0,

он расходится

при всех

значениях г,

для которых

 

 

I z I >

I г01.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим

сначала, что

числовой ряд

 

 

 

 

a0 + a1z0 + ...

+ a„2'5 + ...

 

сходится. В этом случае, как было установлено ранее (см. § 6 главы 2)

 

 

lim anzï

= Q.

 

 

 

п -» со

 

 

 

Тем более, члены этого ряда

ограничены, т. е. най­

дется такое

К, что при любом

номере п

 

 

 

I anz1

\<К.

 

Пусть теперь

| z | <

| z01

(тем самым

мы предпола­

гаем, что z0

ф 0). Тогда

 

 

 

 

 

 

9 =

< 1 .

 

Мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

„ гп

 

z

' =

\anzï\qn<Kqn.

 

/7 7"

—

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Этозначит, что при | z | < | z01 члены

ряда

,

\a0\+\a1z\

+ ... + \anzn\+...,

(6.4)

начиная с некоторого места, становятся меньше соот­ ветствующих членов геометрической прогрессии

K + Kq + ... + Kqn-1 + ...i-

в которой знаменатель, меньше единицы. Так как такая прогрессия сходится, ряд (6.4) также должен сходиться. Но это означает, что ряд

aQ + a1z + ...-\-anzn-{-...

сходится абсолютно.

 

Предположим

теперь, что ряд

 

a0

+ ßi2o + ... + a ^ + . . .

(6.5)

Смотрите также файлы