Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

§ 10. РЯДЫ ТЕЙЛОРА Й МАКЛОРЕИА

117

§ 10. Ряды Тейлора и Маклорена

Если

функция / (х\

имеет

в

некотором

сегменте

производные

всех

порядков

(раз

они

имеются все,

каждая

из

них будет

дифференцируемой

и

поэтому

непрерывной), то можно написать формулу

Тейлора

для любого

значения

п.

Положим при любом /і =

1,2, ...

/ (а) + (x -

а) ф

+ . . . +

(x - а)" ^

=

5

„

(*) (6.22)

и

f(x)-Sn(x)

=

Rtt(x).

Если

lim

Rn(x) = 0,

(6.23)

«-•со

то ряд

f(a) + (x-a)^

+ ... + (

x

- a

y

^

+

...

(6.24)

сходится,

и его суммой

будет функция

f(x).

О п р е д е л е н и е .

Представление функции / (х) в ви­

де

ряда

f(x) = f(a) + (x-a)^

+ ... + ( x -

a

y

^ + ...

называется разложением

этой

функции

в ряд

Тейлора.

В частности, при а — 0

разложение

в ряд Тейлора

называется разложением

в ряд

Маклорена:

/ W = f ( 0 ) + , m + . . . + ^ + . . .

Подчеркнем,

что

остаточный

член

в формуле Тей­

лора (6.17) для функции

f (х) не обязательно

является

остатком

ряда

Тейлора

(6.24) этой

функции.

Поэтому

из

сходимости

ряда

Тейлора

для

функции

f (х) еще

не

следует

его

сходимость

именно

к

этой

функции.

П р и м е р . Приведем

пример функций,

ряды

Тейлора

кото­

рых сходятся, но не к самим функциям.

Возьмем произвольную функцию вида

, .

( Р (—\

е~ x*

если

хФО,

.,

о с ч

ф М = |

W

'

(6.25)

1

.

0

,

если

х — 0,

где Р — некоторый

полином.

Ясно,

что

при х=£=0

и таком, что

1/.ѵ не корень Е, должно быть и у(х)ф0,

так что функция ф (х)

во всяком случае тождественно нулю не

равна.

Функция ф (х) при хфО,

очевидно,

непрерывна.

Для

про­

верки ее непрерывности

при

л: = 0

положим

1/х = у .

Тогда мы

получим

у(х)

=

Р(у)е-У,

так что, применяя нужное число раз правило Лопиталя, мы будем

иметь

1 і т ф ( * ) = 1 і т

^—=0.

(6.26)

x -* 0

i/tai

8*

Значит, функция ф (х) непрерывна и при х — 0.

Найдем теперь

производную функции

ф(.ѵ). При ^ ^ 0 мы

можем ее получить

дифференцированием

соответствующего анали­

тического выражения:

Ф ' М = Р ' ( | ) ( -

. " ? + я ( 1 ) Г

*

* -

Q

( ± ) Г * , (6.27)

где Q—некоторый

полином.

Для вычисления значения производной при л:=0 восполь­

зуемся формулой Лагранжа:

Ф ( * ) - Ф ( 0 ) = ф , ( 6 ; с ) )

г д е

0

<

6 < 1

,

-

§ 10. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

119

метр

Ѳ ограничен и

нарушить

сходимосгь

аргумента

к нулю

не может)

ф' (0)=

lim ф' (*)= lim ф' (Ѳх) = lim ф

^ ~ ф ( 0 ) 0.

(6.28)

*-*0

Х"0

дг-t-O

х

Из (6.27)

и

(6.28)

мы видим,

что производная всякой функ­

ции

вида (6.25)

существует и сама имеет вид (6.25). Ее можно

вида (6.25) и т. д.

Таким образом, всякая функция вида (6.25)

имеет

производные

сколь угодно высоких порядков и все они

также

имеют вид (6.25).

В

частности,

ф (0) = ф' (0) = . . . = ф'л> (0) = 0.

Поэтому в формуле

Тейлора

(6.22) для этой функции при а = 0

мы имеем

s « W - ,

( P ) + ^

+ ... + ^

Ö ^ - o

при любом п. Отсюда следует, что

Rn

(х) = ф (х) — S„ (х) =

ф (X),

ной ряд вообще возможно, то

оно является

разложе­

нием в ряд Тейлора.

Т е о р е м а .

Пусть

f(x) = Co + c1(x-a)

+ ...+cn_(x-a)n

+ ...,

(6.29)

где стоящий

справа

ряд

сходится в

некотором

сег­

менте [a — R,

a-\-R]

к функции

f(x).

Тогда

этот ряд

является рядом Тейлора,

т. е.

* ~ е у * .

(6.30)