Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

a0 + a1z + ... + anzn + ...

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, согласно первой части теоремы, должен сходиться и ряд (6.5), что противоречит предположенному.

§ 3. Круг сходимости ряда

Теперь мы можем достаточно точно описать области сходимости степенных рядов.

Рассмотрим все значения г, при которых степенной

последовательность модулей ограничена снизу (нулем)).

имеем в виду сходимость ряда для всех точек внутри круга и расходимость его для всех точек, лежащих вне круга. Вопрос же о поведении ряда для тех значений z, ко­ торые лежат на самой окружности, является значительно

108 ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

который расходится. Следовательно, по второй части теоремы Абеля радиус1 сходимости этого ряда не превосходит единицы: A g i .

С другой стороны, при г = 1 мы из (6.7) получаем знакопере­ менный ряд

который сходится. Следовательно, по первой части теоремы Абеля радиус сходимости ряда (6-.7) не меньше единицы: R > 1.

Объединяя сказанное, мы получаем, что радиус сходимости ряда (6.7) равен единице: 7? = 1.

Нам остается выяснить сходимость ряда (6.7) на самом круге сходимости, т. е. для тех значений г, для которых

М = 1.

Возьмем такое г и представим его в тригонометрической форме:

Таким образом, интересующий нас ряд сходится во всех точ­ ках окружности круга сходимости, за исключением точки г ——I.

Круг сходимости ряда может состоять из единст­ венной точки (в этом случае радиус сходимости ряда равен нулю) или, напротив, охватывает всю плоскость комплексного переменного (в этом случае принято го­ ворить, что радиус сходимости ряда бесконечен).

П р и м е р ы .

1. При любом гфО ряд

01 + 1! z + 2! z2 + ... + n! z" + ...

расходится (см. пример 5 § 2 главы 5). Следовательно, радиус ' сходимости этого.ряда равен нулю.

2. При любом г ряд

сходится (см. пример 4 § 2 главы 5). Следовательно, радиус схо­ димости этого ряда можно принять равным бесконечности.

§ 4. Вещественный степенной ряд

и его интервал сходимости

имеет вещественные коэффициенты и переменная х при­

Область значений переменной х, удовлетворяющих соотношению

-R<x<R,

называется в случае вещественного ряда его интерва­ лом сходимости. За числом R, как и в комплексном случае, сохраняется название радиуса сходимости.

ПО ГЛ. 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

мем произвольный замкнутый круг, лежащий внутри круга сходимости. Очевидно, можно считать, что центр меньшего круга также находится в точке 0. (Точнее говоря, всякий меньший круг можно охватить кругом

гами. Так как эта точка расположена внутри круга сходимости степенного ряда (6.9), ряд

a0+a1z0+-..+anzS+...

сходится абсолютно. Но при любом zx из меньшего круга должно быть | zx | < | z„ |. Поэтому

Ian z«1 = |an \\z1 | л < i а п [ \ z 0 \ п = \ a n z " 0 1 .

Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. § 7 главы 5) ряд

a0+a1z+...+anzn+...

ной функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждая частичная сумма сте­ пенного ряда, очевидно, есть непрерывная функция. По­ скольку по предыдущему в любой замкнутой области внутри круга сходимости ряда сходимость является равномерной, сумма ряда, являющаяся пределом рав­ номерно сходящейся последовательности -непрерывных функций, на основании сказанного в § 4 главы 5 сама является непрерывной функцией.