Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

		§ 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ				127
и, в частности,
		f ( l ) = ea-
Вместе с (7.7) это дает			нам а = а0 , откуда и следует
требуемое.		Пусть значение		функции f (z) для любого
Т е о р е м а .
вещественного		или комплексного		z определено	как сумма
ряда
	1 + ^ г + - \| г + - + ж + -					(7.8)

Тогда	функция f (г), непрерывна, отлична				от тожде
ственного	нуля	и для любых комплексных гг			и г2
		/ ( Z l + Z2 ) = / ( Z l ) / ( 0 2 ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Ряд (7.8) сходится		при любом
вещественном		значении	z. Следовательно,		по	теореме
о непрерывности суммы ряда (§ 5 главы 6) f (z)						является

непрерывной при любом вещественном значении z функ

цией. Кроме	того, f (г) отлична от тождественного нуля
(например,	f ( 0 ) = l ) .

По правилу умножения рядов мы имеем

2 1 ' 3 1 У

+ -

+ ...

или, объединяя слагаемые «по диагональным линиям»,

128 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

мы получаем1 )

/ Ы / ( г 2 ) = 1 + - ^ + і £ Ц г 5 ^ + . . . +

+ І £ І + £ 2 Г + І . І = / ( Г І + Г 2 ) >

Из этой теоремы следует, что сумма ряда (7.8), как функция z, обладает тем важным характеристическим свойством функции ег , которое выделяет ее из всех непре рывных функций. Поэтому естественно определить зна чение суммы ряда (7.8) при произвольном г, веществен ном или комплексном, как значение функции е*:

е г = 1 + Т Г - Ь 2 Т + - - + ^ Г + -

<7 -9 )

Формулы

Эйлера

Положим в формуле

(7.9)

z =

iy:

— i - t - j ,

- Г

" r

"Г

4 |

5 ,

' 5!

1 _ ^ 2 _ L ^ - _

\-Li(JL

i l

2'f "T"

"V"*"

V H

cosy +

isiny

(7.10)

аналогично

е-'У =

cos г/ — / sin y.

(7.11)

Отсюда

мы

получаем

—

= C O S Î /

(7.12)

1 )

В самом деле

г".

z zn—i

z^-z"— 2

г"

11 (n—

1!)

(л —2)!

- r

•••

"Г-

§ 6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

129

2і =*smy. (7.13)

Для z=x-\-iy, где X и у — вещественные числа, фор мулы (7.10) и (7.11) дают нам

е*+іу = ехеіу = е.ѵ ( C 0 S y + isiny).

(7.14)

Соотношения (7.12) и (7.13) называются формулами Эйлера. Вместе с формулой (7.14) формулы Эйлера уста навливают связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией с комплексным показателем.

	§	6.	Тригонометрические				функции
	от	комплексного			значения		аргумента
Степенные			ряды	для	тригонометрических			функций
		cos*=l — -gp +				—
		sin лг		X	X3 .	XS	...
		sin лг		-j-j	gj	gî	...
сходятся	при любом			вещественном			значении	х.	Следо
вательно,	по теореме			Абеля должны сходиться,					и при
том абсолютно,			ряды
				Z2	Z*
			1		_\|_ 1
			z	г3	! z5
			TT —	~ЗТ+	"BT ~	" •

при любом комплексном значении г.

Примем поэтому значения сумм этих рядов в качестве

значений тригонометрических функций:
c o s z = l - J + \| - - . . . + ( - i r 7	g r + . . . ,	(7.15)
	(2п)\

s i n z = 7 T - 4 + " В Т - " • + ( - 1 ) " 7 2 & І ) Г + • • • ( 7 - 1 6 )

бH. Н. Воробьев

130 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 7. Гиперболические функции от комплексного

значения аргумента

Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для тригонометрических функций, мы можем определить значения гиперболических функций при ком плексном значении аргумента:

c h Z = l +		- \| i +	\| - + . . . + ( g I + . . . ,						(7.17)
sh 2 =	- { T	, + £	+	! -	+ .	. . + ^ +	. .	.	(7.18)
Полагая	в (7.17)		и (7.18)		іг	вместо г,	мы	получим
	у%	»4				р2П		. . . - C O S Z
с Ь ( 1 г ) = 1 - . - \| Г		+ - \| Г +		. . . + ( - 1Г-<ш+				. . . - C O S Z
						(2п)І
и аналогично
sh И = / І Т Г	_ * - + « - _ . . . + ( _ î r - ^ p + .
								=	I Sin 2.