ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ |
ФУНКЦИИ |
131 |
|
ВИД |
|
|
|
0,0001 . |
|
|
|
41 |
|
|
|
где 0 < і < 0 , 1 . так что и |
близко |
к единице. Поэтому |
|
ненаписанные члены в разложении е0 -1 не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбро сить. Вычисление дает нам е о д = 1,10517.
Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или инте грированием рядов.
Рассмотрим., например, разложение |
в ряд |
|
||||||
|
|
1+*= |
= |
\ - Х 2 |
+ х*- ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
стоящий справа ряд сходится |
равномерно при |
||||||
| x j < c < < l |
и поэтому |
|
(см. § 9-главы |
5) его |
почленное |
|||
интегрирование между |
0 и х < 1 законно. Выполнение |
|||||||
этого |
интегрирования |
дает нам |
|
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï l y - a r c t g * - * - 4 + |
£ |
- . . . |
(7.19) |
|||
|
Ö |
|
|
|
|
|
|
|
В |
частности, при х = 0,1 |
мы имеем |
|
|
||||
|
|
arctgO.I = |
0,1 — |
+ |
|
... |
|
|
Этот ряд— знакочередующийся. Поэтому его остаток не превосходит последнего отброшенного члена. Удерживая в нем два первых члена, мы получим значение
arctg 0,1 =0,09967
с пятью верными знаками.
Разложением (7.19) арктангенса в ряд можно восполь зоваться для вычисления значения л.
Для этого вспомним |
сначала, что |
to |
1 — tg2 а |
б* |
|
132 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 arctg а = arctg |
jz^- |
||||
В |
частности, |
при а = |
- р - мы имеем |
||||
|
2 arctg 1 |
= |
arctg — ^ - у - = arctg ~ |
||||
|
|
|
|
|
І _ |
25" |
|
и, |
далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2р_ |
|
|
4 arctg 1 = 2 arctg -^- = |
arctg — |
^ 5 - = arctg |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
Ш |
|
Примем теперь |
во внимание, что |
|||||
|
|
t g f a - B W |
tg сх —tg |
ß |
|||
|
|
Щ ( |
а |
P ) |
1 + t g a t g ß ' |
||
так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg а - |
arctg b = |
arctg |
j^ij- |
||
T-r |
120 |
, |
, |
|
|
|
|
При a=-jjg- |
и 0 = 1 мы получаем |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
120 |
|
a r c t s тж - a r c t ê 1 = a r c t ê 7 7 W = a r c t ê m •
+ 119
Значит,
arctg 1 = 4 arctg -^- — arctg2391
Ho arctg l = - j - и потому мы имеем ^ . = 4 a r c t g | - a r c t g l | g -
|
|
|
§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ |
133 |
||||||||||
|
Вычисляя по формуле (7.19) значения стоящих справа |
|||||||||||||
арктангенсов, мы можем |
получить я |
с любой |
наперед |
|||||||||||
заданной |
точностью. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Предположим, |
что нас интересует |
значение |
я с точ |
||||||||||
ностью до Ю- '. Это значит, |
что |
мы |
можем положить |
|||||||||||
|
|
|
|
arctg -ÖÖQ- = -пэд |
|
3 • 2393 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
239 |
239 |
|
|
|
|||
^следующий |
член |
разложения |
есть |
- i - 239- 5 < |
10- 1 0 j и |
|||||||||
|
arCtg |
- |
|
_ |
|
„ - , |
"Т1 с |
и |
|
7 . Я7 ~г1 |
9-5» |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3-5' |
5 |
- 55 |
7-5' |
|
|||
^следующий |
член разложения есть JJ5 - 1 1 < 10-8 j. Окон |
|||||||||||||
чательно |
мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
* = |
4 ( ± _ _ і _ |
+ |
|
_ і |
L _+ . |
|
|
|
||||||
4 |
V 5 |
|
3-5 |
3 |
1 |
5 - 55 |
7-5' |
1 |
9-б" |
|
|
|||
А |
\ К |
|
5 . S S |
Т |
С Е В |
7 . ( 7 |
|
Т |
|
|
|
|
||
|
(JL. |
|
- |
1 |
|
г |
= 4 • 0,19739556 - 0,00418408 |
|||||||
|
\ 239 |
3 • 2393 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0,78539816, |
|
откуда я = 3,14159264. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Зная |
значение я, можно в свою очередь весьма точно |
||||||||||||
вычислять значения тригонометрических функций от аргу ментов, заданных в градусной мере.
Например, при вычислении sin 5° = sin ^ мы имеем
s i n 5 = з б - - e i s e } +
Ограничиваясь написанными первыми двумя слагаемыми, мы допустим ошибку, которая не будет превосходить пер вого из отброшенных членов (ибо мы имеем дело со знако чередующимся рядом),- т. е.
-L(JL)5 |
< ю-» |
120 \ 36/
Вычисление дает нам
sin 5° = 0,0872664 -10,0006646=0,087156. .
134 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 9. Биномиальный ряд
Найдем разложение в степенной ряд функции
/(*) = ( ! + * ) ' |
(7.20) |
(/ — произвольное вещественное число). Дифференцируя равенство (7.20) п раз, мы получаем
/і*> (*) = *(*-1) ... ( * _ п + 1 ) ( 1 + * ) ' - » , так что .
/<»>(0) = f ( f - 1) ... ( / - л + І ) .
Следовательно, рядом Маклорена функции f(x) будет ряд
(7.21)
Если число / — целое и положительное, то в t-u и во всех последующих коэффициентах появляется равный нулю сомножитель. Поэтому эти коэффициенты, а следова тельно, и сами члены, обращаются в нуль и ряд пре вращается в конечную сумму. Если же число / нецелое, или целое, но отрицательное, то ни один из коэффициентов ряда в нуль не обратится и нам придется иметь дело с беско нечным рядом. Этот ряд называется биномиальным, а его коэффициенты — биномиальными коэффициентами. По внешнему виду они напоминают обычные биномиальные коэффициенты, рассматриваемые в элементарной мате матике.
Определим радиус сходимости биномиального ряда. Для этого составим ряд из модулей членов биномиаль ного ряда и воспользуемся признаком сходимости Далам-' бера. Мы имеем
иЛ=
так что
Ці — \) ... |
( f - n + l ) |
хп\ |
|
|
ni |
|
|
nt-D |
••• (t-n) |
, |
|
|
(/»+1)1 |
* |
I |
и„ |
\ t—n |
§ 9. БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД |
135 |
и потому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
l i m - ^ = l i m |
! ^ |
| |
* | = |*|. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
лч-со |
"л |
|
|
л-ѵсо |
" Т ^ 1 |
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
при |
| J C | < ; 1 |
биномиальный |
ряд абсолют |
|||||||||||||
но |
сходится, |
и можно |
говорить о его сумме s (х). |
|
|||||||||||||
|
Нам остается |
проверить, что ряд (7.21) действительно |
|||||||||||||||
сходится |
к функции |
|
f(x). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Внутри своего интервала сходимости биномиальный |
||||||||||||||||
ряд |
|
(как и всякий степенной |
ряд) сходится |
равномерно. |
|||||||||||||
Поэтому |
применима |
теорема |
о почленном |
дифференци |
|||||||||||||
ровании |
ряда |
|
(см. § 10 |
главы 5), |
которая |
дает |
нам |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.22) |
|
|
Умножим обе части написанного равенства |
на І + ^ |
|||||||||||||||
и приведем подобные члены. (Эта операция |
законна, |
||||||||||||||||
так |
|
как |
при |
|лг|<; 1 ряд, стоящий в (7.22) справа, схо |
|||||||||||||
дится абсолютно.) |
В результате мы снова получим сходя |
||||||||||||||||
щийся ряд, в котором коэффициентом при хп |
(п = 0, 1, ...) |
||||||||||||||||
будет |
сумма |
двух |
соседних |
коэффициентов умножен |
|||||||||||||
ного |
ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
/ |
( * - ! |
) . . . |
|
( f - n + l ) |
|
, t(t-l) ... |
( / - n + l ) ( f - n ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
(л- 1)1 |
|
|
"т" |
|
|
ni |
|
|
|
|||
Эту |
сумму |
можно переписать как |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
... |
р - я + 1 ) |
Л . |
t-n |
\ _ |
t{t-\) ... |
р - в + 1 ) |
, |
||||||
|
|
|
( я - 1 ) | |
|
|
|
|
|
п ) ~ |
ni |
|
1- |
|
||||
Мы |
|
получили |
умнол<енный |
на |
t |
коэффициент |
при |
хп |
|||||||||
в биномиальном ряде (7.21). Таким образом, в области сходимости биномиального ряда
|
|
(1+х) s'(*) = &(*). |
(7.23) |
|
|
Рассмотрим теперь отношение |
|
||
|
|
s (х) = |
s(x) |
|
|
|
f(x) |
(1+хУ |
|
и |
найдем |
производную этого |
отношения |
|
d_ |
s(x) = |
s' (х) (1 +*)' — s (х) t (1 +x)'-i _ |
(l+x)s'(x) — ts(x) |
|
dx(l+x)'~ |
H+x)* |
~ |
( l + x ) ' + 1 |
|
136 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Ввиду (7.23) числитель последней дроби равен нулю, так что
d s(x) _ 0 dx (l+x)1
Следовательно, отношение уЦ - является постоянной:
~Щ-=С. |
(7.24) |
|
Для определения этой |
постоянной положим в (7.20) и |
|
в (7.21) х = 0. При этом |
мы, очевидно, |
получим |
f ( 0 ) = l |
и s ( 0 )=l , |
|
так что |
|
|
С - т І І - 1 . |
(7-25) |
|
Таким образом, из (7.24) и (7.25) следует, что
=/(* ) = ( ! + * ) ' ,
т.е. ряд Маклорена функции (1+*)' при | х | < 1 схо
дится к этой функции. Поэтому мы можем написать
( 1 + * ) ' = 1 + Х * + £ І ^ ! > - * 2 + . . . +
t(t-l) ... ( f - n + 1 ) |
• |
ІJ j j + • • •
Придавая ^ те или иные значения, можно получать различные полезные формулы.
Пр и м е р ы .
1.При <=1/3 мы имеем
|
1 |
2 |
•„ , 2 • 5 „ 2 - 5 . 8 |
2. При |
—1/2 получаем |
||
1- |
. І Ь З , |
1.3-5- 3 . 1 - 3 - 5 . 7 |
|
Ѵі+х |
1 2 |
х-12-4 ха |
2-4-6 * Н 2-4-6-8 х 4 - |
и т. п.
§ Ii. РАЗЛОЖЕНИЕ In x В РЯД МАКЛОРЕНА |
137 |
§ 10. Приложения биномиального ряда
При помощи биномиального ряда можно быстро и довольно точно вычислять значения корней из чисел,
атакже значений различных функций.
Пр и м е р . Вычислить у^Зб с точностью до 0,0001. Мы имеем
y » - v ^ - » ( ' + i r = " ( 1 + T - i - » V * ) -
|
|
|
|
|
|
- 2 + - 8 Т - б Ж = 2 ' 0 3 6 1 - |
Следующий член будет |
|
|
|
|
|
|
4 • 9 |
3s |
|
|
|
1 |
|
3! • 5 |
3 |
32 |
3 • |
= |
^ |
і і = 0.00004. |
|
|
|
25000 |
|||
Биномиальный ряд является основой многих дальней ших разложений функций в ряды. Найдем, например, разложение в ряд Маклорена функции arcsin х.
Рассмотрим биномиальный ряд при t = — V 2 и неза висимой переменной — х2:
1 |
г* |
1 r»i n o |
1 n i |
Л*> |
1 |
У 1-х3 |
2 |
2І - 2 2 |
|
З І - 2 |
9 |
Почленное интегрирование этого ряда от нуля до х < 1 (такое интегрирование законно, так как мы остаемся в пределах области сходимости ряда) дает нам
|
dx |
= |
. |
, |
|
1 |
„ , |
|
|
|
|
\ |
УТ^х* |
arcsinA;=A;H |
|
|
xs4- |
|
|
||||
|
|
' |
|
2 - 3' |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
Г» |
г» |
|
1 |
|
|
о |
|
, |
|
j ^ |
|
|
|
|
1 3 |
5 |
|
|
|
|
+ |
2! - г з - б ^ + |
З! - 2 3 - 7 Х І + ••• |
(7-26) |
|||||
Как следует из сказанного в § 9 главы 5, этот ряд сходится в интервале | х | < 1. Впрочем, это можно уста новить и непосредственно, применяя признак сходи мости Даламбера.
§ И. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции
Воспроизведем разложение в ряд Маклорена лога рифмической функции 1п(1+д;) (ср. § 10 главы 5). Пола гая в основной формуле для биномиального ряда t=— 1,