ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
138 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
мы имеем
1 |
+ |
* « + . . . |
Этот ряд сходится равномерно при | х | ^ g < 7 < 1, так что можно произвести интегрирование от 0 до я < 1:
\ т+т=1п(і+*)=*-~5 +? — • + (- І )"ятг+-
о
(7.27)
Согласно сказанному в § 5 главы 4, полученный ряд сходится также и при х—1. Сходимость этого ряда до вольно медленная. Так, на границе интервала сходимости,
т. е. при х=\, мы |
получаем |
|
1 п 2 = 1 - 1 |
+ | - . . . + ( - |
.... |
так что погрешность при удержании десяти первых членов ряда будет оцениваться сверху числом 1/11. Поэтому вычисление логарифмов на основе одной только формулы (7.27) нельзя считать практичным.
Займемся приспособлением этой формулы для вычис лительных целей. Заменим прежде всего в ней * на — х:
\п(1~х)*=-х-±-\- |
... - i L - ... (7.28) |
Почленное вычитание ряда (7.28) из (7.27) дает нам
ln4±jf- = 2 ( * + 4 + 4 + . . . |
) . |
(7.29) |
Полагая теперь
І+х |
я + 1 |
1-х |
~~ п ' |
мы принимаем тем самым
_ |
1 |
Х ~ |
2 л + 1 ' |
§ 12. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
139 |
и формула (7.29) переписывается как
. . п + 1 _ 0 / 1 1 1 2 л + 1 ^ а ( 2 л + 1 ) з ^ 5 ( 2 л + Г ) °
П р и м е р . При л = 1
, п 2 =2(4 + 3 ^ + 5 - ^ + '
Стоящий в скобках ряд сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем 1/9. Поэтому удержание каждого сле дующего члена увеличивает точность в определении In 2, грубо говоря, на один десятичный знак.
§12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов
Вычислениями значений функций вычислительные приложения теории рядов далеко не исчерпываются. При помощи рядов можно вычислять определенные ин тегралы, а также находить решение дифференциальных уравнений.
Приведем несколько примеров.
П р и м е р . |
Вычисление |
интегрального синуса: |
||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
sin Х•--= l S ^ d x . |
|
|
||
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
Мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
хъ |
|
|
j^an+i |
|
|
s m * = * - g T |
+ ^ - . . . + ( - l ) * ^ q - î |
r |
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
31 |
1 |
51 |
г ѵ |
' |
(2л+1)1 |
г " " |
(этот |
ряд сходится, как |
и |
предыдущий, |
при всех значениях х). |
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
dx=x- |
— - + — _ _ . . . + |
(-!)« |
( 2 л + 1 ) ! ( 2 л + 1 ) |
||||
|
|
31 - З т |
|
5! .5 '" 1 ѵ |
' |
|||
'40 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Подставляя в ряд вместо х те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие пас значения функции.
Вычисление интегралов при помощи рядов можно комбинировать с обычными приемами интегрального исчисления.
Пр и м е р ы .
1.Вычислить
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Подстановка Y* |
=у |
приводит этот интеграл к виду |
|
|
|||||
|
|
|
Yx~ |
|
/ F |
|
|
|
|
|
|
|
&3fäy^2 |
|
{ sin y"-dy, - |
|
|
||
|
|
|
о |
|
ô |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ М - 2 $ ( y > - £ + |
. . . + |
{ - l ) n £ ^ + . . . ) d y . |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Стоящий под знаком |
интеграла ряд сходится |
при всех у; |
поэтому |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵх |
|
7 М = 2 ( 4 - з Т Т + - + < - Ц " ( 2 + і Г ( 1 + 3 ) + - ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
и, |
наконец, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
W = 2 ^ ( T - З Р Т + - + ( - 1 ) " ( 2 П + І ) І . ( 4 П + 3 ) + - ) - |
||||||||
|
2. Большое |
значение |
в теории |
вероятностей имеет |
интеграл |
||||
|
|
|
|
X |
хг |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||
|
|
|
7ШІ S'е - 2 dx. |
|
|
|
|||
Для его вычисления |
заменим |
в |
формуле |
(7.2) |
х на 1/2х2. |
||||
Мы получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ? |
, |
, /А-Ч2 1 / * Ч 3 |
I |
|
|
|||
|
|
|
2 ^ |
2 J |
21 |
\ 2 У 3! + |
- |
|
|
§ 13. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
141 |
Этот ряд сходится равномерно в любом сегменте [0, х]. Поэтому интегрирование этого ряда законно и дает нам
X
'о
/ 2 л V 2-3 + 2I-22.5 • " + ( І ) Л я ! - 2 л ( 2 п + 1 )
§ 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов
При помощи разложений функций в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные диф ференциальные уравнения. Не вдаваясь здесь в сложные теоретические соображения и не касаясь многочислен ных практических приемов, мы ограничимся лишь одним примером.
П р и м е р . |
Найти решение |
уравнения |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.30) |
при начальных |
условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
У * = о = 1 » |
|
У'х=о=°- |
|
||||
Будем искать решение этого уравнения в виде степенного от |
||||||||
носительно x ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = а0 + |
0 і х + . . . + |
апхп |
+ . . . |
(7.31) |
|||
При наших |
начальных |
условиях |
|
|
|
|||
|
а0 |
= |
1, |
а1 |
= |
0. |
|
|
Дифференцируя этот ряд дважды, |
мы получаем |
|
||||||
2а2 |
+ 6 а 3 * + . . . + |
(я +1) |
(л+2 ) ап+2х" + ..., |
(7.32) |
||||
a умножая этот |
же ряд на х, |
мы имеем |
|
|
||||
|
а0х+а1хі |
+ ... + ап_1хп |
+ ... |
(7.33) |
||||
142 ГЛ. 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Приравнивание |
коэффициентов членов рядов |
(7.32) |
и (7,33) с оди |
||||||||
наковыми степенями #_дает |
нам |
|
|
^ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2а3 |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
баз = |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12а4 |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20а6 |
= |
а2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30а6 |
= |
а3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42а7 |
= |
сг4, |
|
|
|
|
Нетрудно |
увидеть, |
что здесь оказывается |
|
|
|
||||||
|
|
|
а2 = аъ = . . . = а Э л + 2 = . . . = 0, |
|
|
||||||
|
|
|
о4 = а7 = ... = |
а 3 „ + 1 |
= ... = 0, |
|
|
||||
|
1 |
_ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
а э ~"2Тз"' |
° 6 ~ 5 ^ б " ° 3 ' |
'• " а з |
л + 3 |
- ( 3 п + 2)(3п + 3) a s n ' |
••• |
||||||
Иными словами, в ряде (7.31) |
|
|
|
|
|
|
|||||
а0-1, |
_ 1 |
|
_ 1 - 4 |
— . |
_ 1 - 4 . 7 . . . ( З п - 2 ) |
, |
|||||
о з - g j , |
ffe—ëf", |
°зп- |
щі |
|
|||||||
а остальные коэффициенты этого ряда обращаются в нуль. |
|
||||||||||
Таким образом, мы получаем ряд |
|
|
|
||||||||
^ |
± # |
+ 1** |
+ |
|
І - 4 . 7 . . . ( З я - 2 ) |
|
|
||||
1 |
' 31 |
^ |
61 |
|
|
|
(Зл)| |
^ |
<'г*' |
||
Этот ряд сходится |
при любом значении х. В самом |
деле, |
приме |
||||||||
нение признака сходимости |
Даламбера дает нам |
|
|
||||||||
|
|
ип+і |
_ |
азп+і |
з |
|
|
1 |
yS |
|
|
|
|
•«л |
|
а 8 л |
(Зп + |
2) (З/і + |
З) |
|
|
||
и с ростом я это отношение стремится к нулю при любом х. Обозначим через s (х) сумму ряда.(7.34). Согласно сказанному
в § 6 главы 6 сумма ряда