Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

называются компонентами вектора (8.2). Сложение век­ торов осуществляется сложением их соответствующих компонент, а умножение вектора на число — умножением каждой из компонент на это число.

Наоборот, какой бы мы вектор а в пространстве ни взяли, можно найти такие числа х, у и z, что а при­ обретает вид (8.2). Таким образом, можно говорить, что каждый вектор а трехмерного пространства может быть разложен «по векторам» i , j и к.

Геометрический смысл компонент в разложении (8.2) данного вектора а достаточно прост, но вместе с тем чрезвычайно важен, и его обобщение послужит нам удоб­ ной иллюстрацией при наглядном истолковании разло­ жения функций в ряды.

Эти компоненты х, у и z суть алгебраические длины проекций вектора а соответственно на координатные оси

X, Y и Z.

Если U есть координатная ось X, то (8.1) приобре­ тает вид

|a|cos(a, X).

Перепишем это выражение в координатной форме. Прежде всего, из теоремы Пифагора следует, что

если вектор а имеет вид (8.2), то длина его равна

Yx2+y*+z*. (8.3)

Кроме того, мы видели, что алгебраическая длина проекции вектора (8.2) на ось X есть*. Учитывая (8.3), это можно записать как

V * 2 + #2 + z2cos (а, Х)=х,

откуда

Стоящее здесь в числителе выражение

х'х + У'У + г'г=хх' + УУ' + гг'

называется скалярным произведением векторов а и & и обычно обозначается через ab.

В частности, при а = Ь

ab = аа=хг + у2 + г2 = | af.

Непосредственно из определения скалярного произ­ ведения видно, что эта операция обладает свойствами коммутативности:

ab = ba

и дистрибутивности относительно действий сложения вектора и умножения вектора на число:

а(Ь + с) = ab + ас, %(ab) = (ka)b.

Однако закону ассоциативности скалярное умноже­ ние, вообще говоря, не подчиняется: (ab) с есть вектор с тем же направлением, что и вектор с, а вектор а (be) — с тем же направлением, что и а. Поэтому в скалярных произведениях более чем двух векторов порядок выпол­ нения умножений обязательно следует отмечать скоб­ ками. ч

В терминах скалярных произведений и норм формулу (8.11) можно переписать, как

/ab

Всвязи с этим алгебраическая длина проекции b на направление вектора а равна

\Ь\ cos ( а Г о ) = щ .

148 ГЛ. 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Выраженная в длинах вектора а, она приобретает вид

Важным частным случаем взаимного расположения векторов является тот, когда они взаимно перпендику­ лярны. Перпендикулярные векторы называются также ортогональными. Очевидно, нулевой вектор, т. е. вектор, все компоненты которого равны нулю, ортогонален лю­ бому вектору (в том числе он является единственным вектором, который ортогонален самому себе). Если нам дан некоторый набор векторов, в котором любые два вектора ортогональны друг другу, то этот набор назы­ вается ортогональной системой векторов. Говоря о век­ торах, составляющих ортогональную систему, мы будем считать, что среди этих векторов нет нулевого. Очевидно, всякая ортогональная система векторов в трехмерном пространстве состоит не более чем из трех векторов.

Если векторы а и Ь ортогональны, то косинус угла между ними обращается в нуль и (8.11) дает нам

Коэффициенты хх, х2 и х3 можно выразить через ска­ лярные произведения. Умножим для этого каждую часть (8.13) скалярно на аг:

хах = foai) ах + (х2а2) аг + (х3а3) ах =

a2ar=auax=Q-