Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	§ 8. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ			ФУНКЦИИ		173
где
	ап
	=	7 -	^ / (х) cos ~xdx.		»
	§ 8. Четные и нечетные функции
Как	было установлено, задачу разложения функции
/ (х) в	ряд Фурье на произвольном сегменте					[а, Ь)
можно	свести к задаче		разложения	несколько		видоиз
мененной функции		на сегменте [—п, я]. Поэтому мы
далее будем ограничиваться только				этим	случаем.

Итак, пусть функция f (х) задана на сегменте [— я, я] и удовлетворяет условиям Дирихле. Займемся исследо ванием двух частных случаев.

Напомним, что функция f (х) называется четной, если

/(*) = / ( - * )

во всей области ее задания, и нечетной, если

/(*) = - / ( - * )

(также для всех тех х, для которых значение функции определено)!

Как легко проверить, произведение четной функции на четную, равно как и нечетной на нечетную, четно,

апроизведение четной и нечетной функции нечетно. Очевидно, если функция f (х) нечетная, то

lf(x)dx = 0,

— я

а если функция f (х) четная, то

яя

]f(x)dx=2\f(x)dx.

— л

174	ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 9. Разложение четной функции в ряд Фурье

Пусть функция f(x) задана на сегменте [—я, я], удовлетворяет условиям Дирихле и является четной. Тогда произведение

		f (х) sin пх
при	любом п = 1 , 2, ...должно быть нечетной функ
цией,	и потому
	я
	lf(x)	s'mnxdx=0.
	— я

Таким образом, при разложении четной функции в ряд Фурье все коэффициенты этого ряда при синусах обраг щаются в нуль, и разложение принимает вид

f(*)=^-+2a«cos/î;t' (9Л9)

п = \

где

л
ап = —\ f(x) cos nxdx,	л = 0, I , 2, . . .

Я<5>

Описываемое формулой (9.19) представление функции / (х) называется ее разложением в ряд «по косинусам».

§ 10. Разложение нечетной функции в ряд Фурье

Аналогично	предыдущему,		если		функция	f (х) явля
ется нечетной,	то	нечетной	же	функцией		будет при-
каждом п и произведение
так что		f (х) cos пх,
так что	я
	я
	\î	(х) cos nxdx		=	0,
	r-Л

и в нуль обращаются все коэффициенты Фурье при коси нусах, а также свободный член. В результате мы получаем

оо	(9.20)
f(x)=J]bnsinnx,

.§ 11. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИИ НА [0, я] 175

где

	л
	Ъѣ = — \ f (х) s'mnxdx,				я = 1 , 2, ...
Формула (9.20)		иногда		называется			разложением
функции	f (х) в ряд «по синусам».
§	11. Разложение		в ряд Фурье			функций
	на	сегменте		[0,	я]
Предположим теперь,			что функция			f(x)	задана нам
только на сегменте		[0, я]. Чтобы			разложить ее в ряд

Фурье на этом отрезке, мы можем поступить следующим образом. Доопределим нашу функцию на сегменте [—я, 0]. Мы будем тогда иметь функцию, заданную на

всем сегменте			[—я,	л], и	получим'		-,
возможность разлагать доопределен-							'
ную функцию			в ряд Фурье		на всем	<^	я\
сегменте [—я, я].
Так как реально заданной яв
ляется	только		часть функции на сег- т^г				.	п
менте	[0,	я]	(добавочная		часть на		I
сегменте		[—я,	0]	«пристраивается»			Рис. 8.
сравнительно			произвольно		на осно
вании	главным		образом соображений			удобства),		мы по

лученный ряд Фурье должны рассматривать только для тех значений, переменной х, которые расположены в сег

менте [0, я].
Очевидно, получившийся				ряд будет зависеть от того,
как	именно мы произведем доопределение нашей перво
начально		заданной	функции	на сегменте [—я, 0]. При
этом	нам	могут	представиться различные варианты.
Рассмотрим два из них.
Во-первых, мы можем продолжить функцию f(x) на
сегмент [—я, 0] по четности, т. е. положить
		f(—x)	= f(x)t	0 < х < я

(рис. 8). Тогда мы будем иметь дело с четной функцией, которая, в соответствии со сказанным в § 9, разлага ется в ряд по косинусам согласно формуле (9.19).

176

ГЛ. 9.

РЯДЫ ФУРЬЕ

Во-вторых, мы можем продолжить функцию / (х) на

сегмент [—it,

по нечетности, т. е.

положить

f(-x)

-f(x)

(рис. 9).

этом

случае

мы будем иметь дело с нечет

ной функцией,

которая

разлагается

в ряд

по

синусам

согласно

формуле

(9.20).

Не

следует

думать,

что

нам

удалось

получить

для

одной

и той

же функции

два различных

разложения в

f(X)

ряд Фурье. В действительности мы

разлагали

весьма

отличающиеся

друг

от друга

функции

(они

раз

личны на всем промежутке [—л, О])

и только отбросили

часть

получен

ного ответа,

отказываясь

использо

вать

разложение в

ряд Фурье для

отрицательных значений

х.

Поясним

сказанное

на

при

Рис. 9.

мере.

П р и м е р .

Разложим

на

сегменте

[0, л]

функцию

[(х) =

в ряды Фурье

по синусам

по косинусам

(что

будет

отвечать

соответственно

продолжению

этой

функции

на

сегмент

[—я, л]

по

нечетности

по четности).

Разложение

этой

функции

по синусам

было нами

получено

§ 5:

2 ( sin x——

sin 2х +...

(— 1У+1

sin rix

Для того чтобы найти разложение в ряд по косинусам, вы числим интегралы

				я		2		я
			2 С		=	2	x*	= я,
			—	\xdx	=	я	2	= я,
			я	j		я	2
я	.	/				я		я
1 С x cos тіх dx =	—	\	x — sm nx				1^ sin nx dx \ =		'
	я	\	n		о		о
					о		о
						я\		2 cos ля — 1	2 (— 1)" — 1
			/			\		2 cos ля — 1	2 (— 1)" — 1

§ 12. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ РЯДА ФУРЬЕ

1 7 ?

Таким образом другое интересующее нас разложение будет иметь вид

Т -	7Г ( c o s х + ¥ c o s З х + - +			(2hTWC0S ( 2 n + 1 }	*+-")•
Отсюда вытекает одно любопытное следствие.
Обозначим		сумму	последнего	ряда через с {х). После продол
жения	функции	f (х)	на [ — я, п] по четности точка 0 будет точ

кой непрерывности продолженной функции. Поэтому согласно теореме Дирихле

с (0)=/(0) = 0,


о=-*	1 ( 1 + 4 + . . . +		1
2	л \ 1 З2	г ( 2 л + 1 ) 2 1 '

Если обозначить через s сумму ряда «обратных квадратов» (см. § 2

главы 3), то сумма ряда		чисел, обратных четным квадратам,				будет
равна	- i - s, так что сумма		ряда,	стоящего в скобках, есть		-^- s.
Таким	образом,		л
	.		л	4	3
	°	=	~п		Г s>
откуда			2	я	4
откуда

я 2

и мы нашли сумму ряда «обратных квадратов».

§ 12. Комплексная форма записи ряда Фурье

Формулы Эйлера позволяют выражать тригономет рические функции через показательные функции с комп лексным показателем. Следовательно, в такой комп лексной форме "могут быть представлены тригонометри ческие ряды и, в частности, ряды Фурье тех или иных функций.

Пусть

f(x)=:^+

2 (а„ cos пх + bn sin пх)

(9.21)

п= I

—некоторый тригонометрический ряд.

Мы имеем формулы Эйлера (см. § 5 главы 7)