ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
§ 6. СДВИГ СЕГМЕНТА РАЗЛОЖЕНИЯ |
169 |
Далее, |
мы имеем |
а+Т |
|
J ip(x)dx |
= |
а |
|
а + Х |
|
а + Х+Т. |
|
|
а+Т |
|
|
|
|
|
= |
jj |
ty(x)dx-\- $ |
iç{x)dx-\- |
\ ty(x)dx |
= |
|
||||
|
a |
|
a+X |
|
^a + |
X+T |
|
|
|
|
|
= |
a + |
X |
a+X + T |
|
a+x+T |
|
dx, |
||
|
jj |
я|) (x) dx — |
J |
-ф (x) dx + |
$ |
ip (x) |
||||
|
|
a |
|
a+T |
|
|
a+X |
|
|
|
a учитывая (9.15), получаем требуемое. |
|
|
|
п, |
||||||
Поскольку |
функции |
sin m: |
и -cos ял: при |
любом |
||||||
равно |
как |
и |
постоянная |
1, являются |
периодическими |
|||||
функциями |
с |
периодом |
2я, на |
основании |
леммы |
каж |
||||
дый из |
интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
||
ля
§ |
dx, |
jj |
sin mxcosnx dx, |
— я |
|
— я |
|
я |
|
|
я |
5 |
cos2rtxcfx, |
§ sin2 nxdjt |
|
не изменится от «сдвига» его интервала интегрирова ния, т. е. при любом а
|
а+2л |
а+„2л |
|
||
|
2 п |
dx=\, |
^ |
sin mx cos nxdx —О, |
|
|
|
а |
а |
|
|
а+2я |
|
а + |
2л |
|
|
-і- |
^ cos2 nxdx= 1, |
^ |
cosmxcosnxdx=Q |
(п ф m), |
|
|
а |
|
а |
|
|
а+2я |
|
а+2п |
|
||
-^- |
^ s i n 2 п х d x = l , |
^ |
sin/rasin/uckc=0 |
(пфт). |
|
Это |
значит, |
что система |
функций |
|
|
1 |
1 • cos x, -^zs'mx, -4=-cos 2л;, —L^ sin 2л:, . . . |
170 |
|
ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ |
|
|
||
является |
ортонормальной |
не |
только |
на |
сегменте |
|
[—я, я], |
но и на любом сегменте вида [а, а-4-2л]. |
|||||
Далее, |
если |
функция |
f(x) |
является |
периодической |
|
с периодом 2я, |
то периодическими и с тем |
же перио |
||||
дом будут |
все функции |
|
|
|
|
|
f (х) cos пх, f (х) sinn*,
и поэтому для коэффициентов Фурье функции f (х) на сегменте [а, а-\-2л] мы получаем
а-\-2я |
|
|
|
|
|
-^- ^ |
/ (х) cos |
пх dx=^ |
^ |
f ix) cos пх |
dx=а„, |
à |
|
|
— Л |
|
|
а + 2л |
|
|
я |
|
|
^ |
/ (*) sin nxdx = ~ |
|
/(*) sin |
nxdx=bn. |
|
Отсюда можно сделать два вывода. |
|
||||
Во-первых, при вычислении |
коэффициентов Фурье |
||||
2я-периодической |
функции |
f (х) |
на сегменте [—л, я] |
||
мы можем во имя удобства интегрировать нужные про изведения не по этому сегменту, а по любому другому сегменту вида [a, a-f-2n], распорядившись значением а так, чтобы вычисления стали более простыми или
бгіее удобными или чтобы, скажем, |
нам пришлось |
иметь - дело с интегралами, значения |
которых нам в |
силу тех или -иных обстоятельств уже |
известны. |
Во-вторых, при разложении 2я-периодической функ ции f(x) в ряд Фурье на сегменте [а, а + 2я] мы можем воспользоваться всеми теоретическими утвер ждениями и практическими рекомендациями, которые справедливы для случая сегмента [—я, я] .
П р и м е р . Разложить в ряд Фурье на сегменте [—п, п] функцию, определенную следующим образом:
§ 7. ИЗМЕНЕНИЕ ДЛИНЫ СЕГМЕНТА РАЗЛОЖЕНИЯ |
171 |
график этой функции изображен на рис. 7). Вычисление интегра лов, выражающих коэффициенты Фурье для этой функции,
неудобно, так как в каждом |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
из |
них |
интервал |
интегриро |
|
|
|
|
|
|
|||||||
вания приходится |
разбивать |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
на |
две |
части: |
от — л |
до |
О |
|
|
|
|
|
|
|||||
и |
от |
0 |
до |
я. |
Вместе |
с |
тем |
|
|
|
|
|
|
|||
мы можем продолжить функ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
цию |
f (х) |
по 2я-периодич- |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ности |
(на |
графике |
рис. |
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||
это видно |
особенно |
нагляд |
|
|
|
|
|
|
||||||||
но). Таким |
образом, |
|
на |
от |
|
|
|
|
|
|
||||||
резке |
(0, |
2я] |
наша |
|
функ |
|
|
|
|
|
|
|||||
ция |
f (х) |
приобретает |
|
уже |
|
|
|
|
|
|
||||||
достаточно |
простой вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(правда, |
для |
точки |
х = 0 |
эта |
формула |
неверна,- но |
0 есть |
точка |
||||||||
разрыва |
функции |
f |
(х), |
так что |
значение |
функции |
в ней |
на ее |
||||||||
разложение в ряд Фурье никак не влияет). |
|
|
|
|||||||||||||
|
Поэтому ее коэффициентами Фурье будут |
|
|
|||||||||||||
|
|
2я |
|
1 |
- 2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
xdx = |
X |
|
= |
2я. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
— д - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
я |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
2 я |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 я |
|
|
|
||
|
|
|
|
cos пх dx = |
|
— |
X — sin |
пх |
|
sin пх dx |
=0, |
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
я |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin пх |
dx— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
2л |
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
X — cos пх |
+ |
|
cos |
пх dx |
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а |
ее |
разложением |
в ряд |
Фурье |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
я — 2 ^sin |
|
|
|
sin |
|
2х+.. •+—sin пх + . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
§ 7. Изменение длины сегмента разложения |
|
|||||||||||||
|
Если |
нужно |
разлагать |
в тригонометрический |
ряд |
|||||||||||
Фурье |
функцию |
f (х) |
на |
сегменте |
[а, а + 21], длина |
|||||||||||
которого |
21, вообще говоря, отличается от 2л, |
то можно |
||||||||||||||
произвести подстановку |
|
|
|
/ |
|
|
||||||||||
172 |
|
ГЛ. 9. РЯДЫ |
ФУРЬЕ |
|
|
и функция f(-i^t) |
будет как функция от t |
задавать- |
|||
ся на сегменте |
ак |
an . с, |
уже |
привычной |
нам дли- |
ны 2я. |
|
|
|
|
|
Выполним |
разложение функции |
f (^— ij |
(подчеркнем |
||
еще раз, что мы сейчас рассматриваем ее как функцию
от t\) |
в ряд Фурье |
на сегменте |
^j-, |
~7~+2nj: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
f[^t) |
=>\+У |
(апcosnt+ |
b„ sinnt), |
(9.16) |
||||||
где |
|
|
|
|
|
п = 1 |
|
|
|
|
|
|
о я . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
— |
+ |
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Û „ = — |
^ |
/ t j c o s n t d t , |
n —0, |
1, 2, |
|
|
||||||
|
|
ая_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"/ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.17) |
|
ЯЯ . n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
— |
+ 2Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Л = 1 |
|
f(~t^ |
sinnt |
dt, |
n = l , |
2, ... |
|
|
||||
|
|
а л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напомним, |
что |
мы здесь также |
имеем право, |
продол- |
||||||||
жив |
/^— |
по |
2я-периодичности, |
вместо |
интегралов |
|||||||
(9.17) |
вычислять |
интегралы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яя^-^г ^ / (— tj cos nt dt, |
n = 0, |
1, 2, |
|
|
||||||||
|
|
~ |
к |
' |
|
|
|
|
|
|
|
(9.18) |
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ьп |
= -^ ^ / 4 s |
^ n |
п ^ |
dt> |
n=l, |
2, ... |
|
|
||||
|
|
— я |
|
|
|
|
переменной х, |
|
|
|||
Нам |
остается |
вернуться |
к |
т. е. подста |
||||||||
вить |
как в |
интегралы |
(9.18), так и в выражение для |
|||||||||
ряда Фурье (9.16) всюду вместо переменной t ее выра
жение через переменную х, т. е. пх/1. |
Мы получим |
со |
|
' fM — -у- + 2 (а«c o s т ~ х + b |
n s i n Тх ) • |
Л=І.