Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,30Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

164	ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ

также определена для любого вещественного х и имеет период 2я, Очевидно, это свойство периодичности со храняется и при переходе к пределу, так что сумма лю бого сходящегося тригонометрического ряда

		со
	Y+	У (ап cos пх - f bn sin пх)
		/і = і
также имеет	период		2л.
Таким образом, получается следующая					картина. Пер
воначально мы имели некоторую функцию / (х)						(удовле
творяющую	условиям		Дирихле),	заданную на		сегменте
[—я, я]. Составив ее тригонометрический					ряд Фурье, мы
получим в	качестве		его суммы	s (х) функцию,		которая
определена	уже	не только на		сегменте	[ — я ,	я], но и

для всех остальных вещественных значений х. При этом


на сегменте [ — я, я] сумма s(x)						описывает функцию f (х).
Значениями		функции			f(x),	лежащими			вне сегмента
[—я, я],	мы пока		просто не			интересовались;				в	част
ности, мы тем самым допускали,							что	эта	функция		вне
сегмента	[ — я,	я]	могла		быть	и	не	определена.		Пред
положим,	однако,		что		функция		/ (х) определена				для
всех X, а мы лишь ограничились ее рассмотрением на
сегменте	[ — я ,	я]	и	составили			применительно			к	этим
значениям сумму			ее	тригонометрического					ряда	Фурье

s(x). Эта сумма, будучи периодической функцией, будет

описывать	функцию f(x)	вне	сегмента [ — я ,	я] в том
и только	в том случае,	когда	сама функция	является

периодической с периодом 2л в точках своей непрерыв

ности,

. т. е.

когда для

любой

точки

непрерывности

функции /(х)

/(х +

2я) =

/(*).

Наоборот,

если

функция

f(x)

этим свойством

не

обла

дает,

то

вне

сегмента

[ — я,

я]

она

может

не

иметь

с функцией s (х)

ничего

общего.

Итак,

если функция

f(x)

периодическая с

периодом

2я, то

ее тригонометрический

ряд Фурье

описывает

ее

всюду.

противном случае

он

описывает

ее

лишь

на

сегменте [ — я , я]. Разумеется,

слово «описание» следует

понимать в том смысле, как

это сформулировано

в тео

реме Дирихле.

§ 4. ФИЗИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ 165

§4. Физическое истолкование разложения функции

втригонометрический ряд Фурье

Будем в качестве независимого переменного рассмат ривать время. Тогда функциональная зависимость будет описывать некоторый происходящий во времени процесс.

Ограничимся для удобства рассуждений тем случаем, когда этот процесс сводится к механическим движениям некоторой системы, т. е. к ее пространственным переме щениям.

Встает вопрос о представлении движения на некото ром отрезке времени в виде комбинации тех или иных заранее заданных движений. Этому представлению дви жения будет соответствовать разложение описывающей его функции в функциональный ряд по заданным функ циям.

В частности, можно поставить вопрос о представле

нии достаточно	произвольного движения			на некотором
отрезке времени	[ — я , п] в виде одновременного						осуще
ствления некоторого стационарного смещения,						а	также
	^	с периодами	n		2л	2л
гармонических колебании			2я,				-g-,--.
Так как любое	колебание	такого вида		представляется
выражением	Ansm(nt	+ уп),					(9.10)

ему соответствует пара членов тригонометрического ряда-

ап cos nt -f- bn sin nt,	•	(9.11)
где
а„ = Л„5Іпфп ,		(9.12)
bn = Ancos<çn.		(9.13)

• Таким образом, пара соседних членов (9.11) тригоно метрического ряда соответствует некоторой гармониче ской составляющей (9.10) общего движения системы

с периодом—и амплитудой Л„. Эта гармоническая со

ставляющая обычно называется гг-й гармоникой

движе

ния. Из формул (9.12) и (9.13) мы имеем для ампли туды гс-й гармоники

Ап = Уап + Ьп.

166		ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ
	§ 5. Разложение		функции		f(x)z=x
Рассмотрим		в качестве	примера		разложение	в три
гонометрический		ряд Фурье функции
		/() = .			'	(9.14)
заданной	пока	что на сегменте		[—я, я]. Так		как эта
функция	внутри	сегмента	[— я,	я]	непрерывна	и моно

тонна, она удовлетворяет очевидным образом условиям Дирихле. Заметим, что говорить о непрерывности нашей

функции на	концах	рассматриваемого	сегмента,	т. е.
в точках —я	и я,	мы пока не имеем	права, так	как

для непрерывности функции в этих точках мы должны знать ее предельное поведение при подходе к сегменту

извне.	Но	о значениях функции / (х)				вне	сегмента
[— я, я] мы пока ничего не знаем.
Составим тригонометрический					ряд Фурье, для			нашей
конкретной		функции	f(x)=x.	В	соответствии		с	форму
лами	(9.5) —(9.7) для		этого	нам	нужно	вычислить сле

дующие интегралы:

Таким образом, тригонометрическим рядом Фурье функции f (х)=х на сегменте [—я, я] будет ряд

2 ^sin X — 1 sin 2х + -J sin Зх —...	+
+	( _ ! ) » « ! sin пх + . . . ) .

	§ S. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ f(x)-x			167
Сумма этого ряда является функцией от х.				Обозна
чим ее	через s(x).
Эта	функция	во всех точках непрерывности f{x)
должна с ней совпадать. Значит, внутри				сегмента
[—л,	л] должно	быть
		s(x)	= f {х) — х.
Далее,	при х=±п	все	синусы обращаются в	нуль:

sinmt = 0.

Следовательно,

s ( ± n ) = 0.

Наконец, как было отмечено, функция s(x) должна быть периодической и иметь период 2л. Поэтому ана литическиэту функцию можно задать как *)

s(x)=	[ X~[é]2n>			хф±п,			± 3 л ,		± 5 л ,
	(	0,		х—±л,			± 3 я ,		dz5л,
а график ее указан на рис. 6.
Если мы продолжим функцию f(x)—x									с	сегмента
[—л,	л]	на всю	вещественную			прямую,			согласно ее
				fix)
А				-	г 11		/	л
А					г 11			л
					1				1
			. \-Л	/ а	1 .		//kit		і]3л	х
	1	/	. \-Л	/ а	1	/	//kit		і]3л	х
	\ /		'	-Ж	1	/			V
			'	-Ж					V
				Рис.	6.

аналитическому виду (9.14), то мы вне сегмента [—л, я] получим нечто совершенно отличное от функции s(x).

*) Запись |^2я J ((<ФУНКИИЯ антье») означает наибольшее целое число отрезков длины 2л, укладывающихся в отрезке длины х.

168	ГЛ. 9. РЯДЫ ФУРЬЕ

Однако продолжение f(x) — x с сегмента [—я, л] периодической функцией с периодом 2л, если положить

/ ( ± я ) = / ( ± З я ) = / ( ± 5л) = ... = 0,

будет	совпадать		с функцией s(x).	—
		§ 6. Сдвиг сегмента разложения
То,	что	мы	в качестве основного сегмента задания
разлагаемых в			тригонометрические	ряды Фурье функ
ций брали		[—я,	я], является удобным, но совершенно

не принципиальным. Если в тех или иных теоретических или прикладных задачах приходится иметь дело с разло


жением	функции		в	тригонометрический				ряд Фурье		не
в сегменте		[—я,	я], а в каком-нибудь другом сегменте
[а, Ь], то это никаких дополнительных								трудностей		не
создает,	а	только		несколько		усложняет		обозначения.
В сущности,			этот		вопрос	сводится	к	тому, как		из
ортонормальной			системы функции на				[—я,		я]'полу
чить ортонормальную					систему	функций	на [а,		Ь]. Оче

видно, переход от [—я, я] к [а, Ь] можно осуществить сдвигом первоначального сегмента вдоль оси х и изме нением масштабов по этой оси. Следующая лемма и основанные на ней рассуждения показывают, что сдвиги не изменяют ни ортонормальности систем перио

дических функций,				ни соответствующих коэффициентов
Фурье	периодических				функций		(разумеется,			если	их
период равен длине интервала разложения).
Л е м м а .		Если		функция		яр(х)	периодическая			с неко
торым	периодом		Т,	то	при	любых		а	и X
		а+Т			а +	Х+Т
		5	ір (x) dx =			$	tp (x)		dx.
		a				a+X
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Прежде			всего заметим,			что,
полагая х — Т — у,				мы получаем
а+Х+Т			а+Х	•				а+Х
$	%(x)dx	=	\	ty(y	+ T)dy=			$ q(y)dy =
а+Т			а					а
						а +		Х
						=	I	y(x)dx.		(9.15)

Смотрите также файлы

Воронкевич, С. Д. Газовая силикатизация песчаных пород.pdf

Гвелесиани, С. И. Жизнь в науке штрихи к портретам.pdf

Георгиевский, А. Б. Проблема преадаптации. Историко-критическое исследование.pdf

Графов, Б. М.pdf

Грошева, В. М. Синтетический муллит и материалы на его основе.pdf

Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно