Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

ГЛ. 2. Ч ИС ЛО ВЫЕ Р Я Д Ы . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

П р и м е р . Ряд

Выведенный признак сходимости является необхо­ димым, но не достаточным: в дальнейшем мы познако­ мимся с многочисленными рядами, для которых limu„ = 0,

/ і - » - о э

но которые тем не менее расходятся.

§7. Желательность систематической теории

Впринципе мы могли бы при изучении сходимости числовых рядов ограничиться сказанным и исследовать каждый ряд с точки зрения критерия Коши. Однако

бы при этом использованием индивидуальных особен­ ностей каждого из изучаемых рядов, и вместо теории мы имели бы просто коллекцию разрозненных задач. Не­ сколько шагов по этому пути было сделано в главе 1, посвященной прогрессиям. Но то, что оказалось при­ годно для иллюстративных целей, совершенно нетерпимо при систематическом построении математической теории.

Поэтому мы сейчас займемся не столько установле­ нием сходимостей или расходимостей отдельных рядов, сколько выяснением связей между поведением одних

Выполняя эту программу, начнем с доказательства нескольких простых теорем, которые, по существу, яв­ ляются непосредственным перенесением простейших те­ орем о пределах на последовательности частичных сумм рядов.

§ 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм

Т е о р е м а 1 (ассоциативный закон для сходящихся рядов). Если в сходящемся ряде

т. е. все частичные суммы ряда (2.14). Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2.14) ока­ зывается подпоследовательностью последовательности

2*

П р и м е р . Выясним сходимость и найдем сумму ряда

Sj = S 2 + « 3 = — + -- = 1,

Вообще для п четного: n = 2k

_ . 1

S« * - 1 - Ä + T '

адля п нечетного: гс=2й+1

S2A + 1 =

Совершенно ясно, что

lim s „ = l ,

Л - f с о

так что ряд (2.18) сходится. Но тогда по доказанной теореме схо­ дится и ряд (2 17), получаемый попарным объединением членов ряда (2.18), и сумма этого ряда также равна 1.

З а м е ч а н и е . Подчеркнем, что из сходимости «скон­ центрированного» ряда (2.14) сходимость «редкого» ряда (2.13) может и не следовать, как и вообще на основа­ нии сходимости одной какой-либо подпоследователь­ ности еще нельзя утверждать о сходимости всей после­ довательности.

П р и м е р . Если в ряде

объединить попарно соседние члены:

•Ч)+('Ч)+--К'-і Шіг)+--

то мы получим ряд

1 . 1 . . 1

1-2 ' 2-3 1 *•• 1 n(rt+l) г ' " '

сходимость которого была установлена в предыдущем примере. Однако исходный ряд не сходится, потому что для него, как

легко проверить,