ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
38 ГЛ. 2. Ч И С ЛОВЫ Е РЯДЫ . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ
так что
|
|
l i m |
s2n_x |
— 2, |
|
|
|
|
|
и-* со |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
s2 n |
= |
1. |
|
|
К такому же выводу приводит |
рассмотрение уже встречав |
||||||
шегося нам ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - 1 + |
1 - 1 |
+ ... |
|
|
|
Вместе с |
тем, если все члены исходного ряда по |
||||||
ложительны, |
то |
обращение |
теоремы |
остается в |
силе: |
||
из сходимости |
ряда (2.14) |
следует |
сходимость |
ряда |
|||
(2.13). Действительно, для ряда с положительными чле
нами последовательность |
(2.15) является монотонной |
и неубывающей. Поэтому |
она должна сходиться, если |
сходится какая-либо ее подпоследовательность, напри мер (2.16).
Т е о р е м а |
2 |
(дистрибутивный |
закон |
для рядов; тео |
|||||||
рема об умножении |
ряда |
на число). Пусть |
|||||||||
|
|
|
иі + из + ... + "« + |
••• |
|
(2.20) |
|||||
— некоторый |
ряд, |
ас |
— произвольное |
число, отличное |
|||||||
от нуля. |
Тогда |
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ші + с«а + ... + с « „ + ... |
|
(2.21) |
||||||
сходится |
тогда |
и |
только |
тогда, |
|
когда |
сходится ряд " |
||||
(2.20). Если |
ряд (2.20) |
сходится, |
и |
сумма |
его равна s, |
||||||
то сумма |
ряда |
(2.21) равна |
es. |
|
|
|
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если последовательность час |
||||||||||
тичных сумм |
ряда |
(2.20) |
есть |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
$1і S2 |
|
|
S n , . . . , |
|
|
|
|
то последовательностью частичных сумм ряда (2.21), очевидно, будет
CSi, cs2, ..., |
csn, ... |
|
Так как |
lim csn, |
|
' c l i m c „ = |
(2.22) |
|
n-*ao |
n-»co |
|
из существования предела слева (которое означает схо димость ряда (2.20) при с Ф 0) следует существование предела справа (т. е. сходимость ряда (2.21)) и ра венство (2.22). Наоборот, из существования предела
|
|
§ 8 |
|
СВОЙСТВА сходящихся |
РЯДОВ |
|
|
|
39 |
||
справа |
следуют |
|
существование. предела слева |
и |
опять- |
||||||
таки |
равенство |
(2.22). |
|
|
|
|
|
|
|
||
З а м е ч а н и е |
1. Если |
в формулировке |
теоремы до |
||||||||
пустить |
случай |
|
с = 0, |
то |
ряд (2.21) |
будет |
в |
этом |
слу |
||
чае |
сходиться |
всегда, |
и никакой информации |
из |
этого |
||||||
факта нам извлечь не удастся. |
|
|
|
|
|
||||||
З а м е ч а н и е |
2. |
Мы |
доказали |
теоремы |
о |
рядах, |
|||||
аналогичные свойствам ассоциативности и дистрибутив ности конечных сумм. Теорема о возможности перестав лять в ряде члены, аналогичная коммутативности сло
жения, носит |
более узкий характер и справедлива уже |
|
не для всех |
рядов. |
|
П р и м е р . |
Рассмотрим ряд |
|
i - U ' + i + I + i + i |
|
|
2 2 ^ 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 |
|
|
|
|
(2.23) |
|
8 членов |
16 членов |
В этом ряде видны чередующиеся группы равных друг другу
положительных |
и отрицательных |
членов. Сумма |
членов в каждой |
|||||||
группе по модулю равна единице. |
|
|
|
|
|
|
||||
Если суммировать |
члены ряда (2.23) в гом порядке, |
в каком |
||||||||
они написаны, |
то при |
завершении |
каждой группы |
положитель |
||||||
ных членов частичная сумма будет равна единице, |
а при завер |
|||||||||
шении |
каждой |
группы |
отрицательных членов — нулю. |
Следова |
||||||
тельно, |
этот ряд расходится, |
хотя все его частичные |
суммы огра |
|||||||
ничены (они лежат между нулем и единицей). |
|
|
|
|||||||
Переставим |
теперь члены ряда (2.23) следующим |
образом: |
||||||||
2 |
2 ^ 4 |
8 |
8 ^ 4 |
|
8 |
8 т |
4 |
8 |
8 ^ |
|
|
|
•^ 4 |
8 |
8 ^ |
16 |
32 |
32 ^ |
|
к 1 |
|
(т. е. после каждого положительного члена будем писать по два отрицательных из следующей группы). Частичные суммы получа» ющегося при этом ряда выглядят достаточно просто:
S3„ = |
О, |
|
_ |
1 |
|
5зл+і — 2* |
' |
|
_ |
1 |
|
S3rt+2 — >
ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ Р Я Д Ы . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ
где /с —некоторое целое число, зависящее от п и неограниченно возрастающее вместе с ростом п. Поэтому
|
lim |
s„ = 0, |
|
|
л-* с о |
|
|
тэк что ряд (2.24) сходится. |
|
|
|
Наконец, переставив |
члены |
исходного ряда иначе- |
|
і _ ± + ± + І + ± + ! _ ! + ! + |
+ 1 _ 1 + ± + |
||
2 ^ 4 ^ 4 ^ 4 ^ 4 |
2 М б ^ М б |
8 ^ 6 4 ^ " " |
|
16 членов
(2.25)
(т. е. после &-й по порядку группы положительных членов ста вится fe-iî по порядку отрицательный член; так как н групп поло жительных членов и отрицательных членов бесконечно много, можно считать, что их «одинаково много» и на' каждый отрица тельный член найдется целая группа положительных членов).
Объединим теперь группы положительных членов вместе со следующим за ним отрицательным членом в один член нового ряда. Каждый член нового ряда будет не меньшим, чем 1/2; поэтому его п-я частичная сумма s„ будет не меньше, чем л/2. Следовательно,
|
|
|
|
|
lim |
s„S ^ lim |
-£- = + с о , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Л -г с о |
|
Л - * СО |
^ |
|
|
|
|
|
|
т. е. |
этот |
ряд |
расходится. |
Значит, |
на основании следствия тео |
|||||||||
ремы |
1 |
(об ассоциативном законе) |
ряд (2.25) |
также |
расходится. |
|||||||||
Вместе |
с |
тем в рядах |
с положительными |
членами |
||||||||||
произвольная |
перестановка |
членов не нарушает |
сходи |
|||||||||||
мости |
рядов |
и не изменяет суммы сходящихся |
рядов. |
|||||||||||
Т е о р е м а |
3 ( Д и р и х л е ) . |
Пусть дан ряд |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
«і + «2 + . . . + »« + ... |
|
|
(2-26) |
||||||
с неотрицательными |
членами, |
а |
ряд |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ѵг + ѵ2 |
+ ... + ѵп |
+ ... |
|
|
(2.27) |
||||
получается |
из ряда |
(2.26) |
произвольной |
перестановкой |
||||||||||
его членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
если |
ряд (2.26) сходится, |
то ряд (2.27) также |
|||||||||||
сходится |
и имеет ту же сумму, |
что и ряд (2.26) |
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим частичную |
сумму |
||||||||||||
ряда |
(2.27) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tn = V l + v2 + ... + vn.
§ 8. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ Р Я Д О В |
41 |
Каждое из слагаемых этой суммы входит в ряд (2.26). Возьмем в ряде (2.26) столь большое число m первых членов, чтобы среди них оказались все слагаемые tn, и составим т-ю частичную сумму ряда (2.26):
sm = « 1 + « 2 + ... + « m .
Так как все слагаемые tn входят в s„„ а остальные слагаемые Ал (если такие есть) неотрицательны, должно быть
Но частичные суммы ряда (2.26), ввиду неотрицатель ности членов ряда, не превосходят его суммы s:
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
tn ~ s. |
|
|
|
|
||
Так |
как это |
неравенство |
|
справедливо |
для любого п, |
||||||
все |
частичные |
суммы |
ряда |
(2.27) ограничены. Поэтому |
|||||||
ряд |
(2.27) сходится и |
|
|
|
t,^s. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
г! —lim |
|
|
|
||||
|
Так |
как теперь в наших рассуждениях ряды |
(2.26) |
||||||||
и (2.27) стали равноправными, должно быть и |
|
||||||||||
откуда |
следует, |
что s = t. |
|
|
|
|
|
Пусть |
|||
Т е о р е м а |
4 |
(теорема |
о сложении |
рядов). |
|||||||
и |
|
|
|
Ыі + |
иа' + |
|
.. • + |
"/. + . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ѵі + |
Ѵг + |
...-\-Ѵп |
+ |
. ^ |
|
|
|
— два сходящихся |
ряда |
соответственно с суммами |
sut. |
||||||||
Тогда ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
(u1 + v1) + (u1-\-v2) |
|
+ ... + (un + vn) + ... |
(2.2) |
||||||
также |
сходится |
и сумма |
его равна |
s-\~t. |
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
частичных сумм zn |
ряда |
||||||||
(2.28) мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г» = ("i + f i ) + . . . + («„ 4-о») =
= ("I + ... + « « ) 4 - ( ÖI + ... + 0 I J .