Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
находим
I |
D I |
7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+Ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Но, как |
видно, |
х2е~х |
(2/е)2, и потому |
|
|
|
||||||
|
- L |
е - 2V/30 _ |
/ j?X Y е -2у/3в |
3 \2 |
/ 2 \2 / з |
\2 |
||||||
|
02е |
|
\30/ |
|
|
57) |
< Ы |
|
(тг V |
|||
Таким |
образом, |
окончательно |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2у / |
2 + |
2 ( | ) г/ м |
, ( е , + |
_Мз. |
(1.54) |
|||||
|
|
47 |
||||||||||
Неравенства (1.52), (1.54) |
объединим |
в |
форме |
|
||||||||
|
|
|
I |
D I ^ |
|
|
ет + |
Мо |
|
|
|
(1.55) |
|
|
|
к |
у |
■4у . |
|
|
|||||
где постоянную |
/( |
всегда |
можно |
взять |
в |
виде |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.56) |
В области же (/), для которых выполнено неравенство (1.53), можем положить также
|
K = A {2M , + |
2 ( f ) ! M,}1'! . |
|
(1.57) |
|
Это последнее значение К, |
как видно, уже вообще не |
||||
зависит |
от температуры 0. Итак, можем написать |
|
|||
|
(а,В)г - |
е~Е<№(Ва)г | < К л / е у + |
М2 |
|
|
|
|
|
|
47 |
|
Отсюда |
следует |
неравенство |
|
|
|
| (1 + е~Е(W0) (afB)r - е~Е |
fB + Baf)r | < |
|
|
||
|
|
|
К |
Еу + |
м 2 |
|
|
|
|
|
27 |
ипотому
+е-Е (f)/e
(afB)r - - + е -Е (f)/0 (a fB + Baf)r с
м 9
< * У 8к + - т г - (1-58)
Из этого неравенства получим искомые оценки для разности (1.39).
63
§ 6. Доказательство близости средних, построенных на основе модельного и аппроксимирующего гамильтонианов для правильного расположения операторов в средних
Рассмотрим |
прежде |
всего |
операторное произведе |
||||||||||
ние вида |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U = а, |
|
... а. й.г .. . а,/, |
|
|
|
||||||
в котором |
|
|
М |
|
'к |
Ч |
|
'<7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k > q ^ t 0, |
|
k + q — четное |
число. |
|
|
|
||||||
Предполагается, |
разумеется, |
|
что |
все |
f{ между |
соб й |
|||||||
различны |
также, |
как |
и |
поскольку, |
иначе, |
U будет |
|||||||
•тождественно равно нулю. |
|
|
|
|
4- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, раз число операторов рождения а в данном |
|||||||||||||
произведении больше |
числа |
уничтожения а, то обяза- |
|||||||||||
|
о |
среди |
них |
такой |
оператор |
+ |
, |
что |
|||||
тельно найдется |
|
||||||||||||
индекс |
не равен |
ни одному |
из |
индексов /' . . . |
f'. |
Но |
|||||||
тогда мы можем написать |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
U — а.чВ, |
|
|
|
|
|
|
|||
где В — операторное произведение |
остальных |
операто |
|||||||||||
ров. Существенно, что число операторов в произведении В нечетно и их индексы / все отличны от индекса f,
Поэтому оператор af должен антикоммутировать с произведением В:
|
+ |
+ |
|
|
|
а.чВ + |
Ва,ч = |
0. |
|
"Воспользовавшись неравенством |
(1.58), получим нера |
|||
венство |
+ |
|
|
' ‘ |
|
|
м 2 |
|
|
|
Ч “Л |
|
(1.59) |
|
|
\ ) Г| < /С V 8Г + 47 |
|||
|
|
|||
|
(£><7 ^ 0, |
k -j- q — четно). |
|
|
Возьмем обратный случай. Пусть |
|
|
||
+ |
|
|
|
|
U ■a . |
• af‘ka f |
{q > k ^ O , k + q — четно). |
||
|
||||
54
Имеем |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а >а |
. . . а , |
|
|
|
||||
|
U. |
а |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f\ |
ffe |
ft |
|
|
|
|
и для U можем опять воспользоваться неравенством |
||||||||||
(1.59). Но так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
1<£л>г|<|<с/>гНоЬг|. |
|
|
|||||||
+ |
|
|
|
|
д — |
|
|
|||
+ |
|
|
|
|
М. |
|
||||
о |
а |
а |
|
|
|
|
|
(1.60) |
||
■\ |
\ |
< |
« v |
\ + |
i r |
|||||
|
|
|
||||||||
|
(q > |
k ^ |
0, k + |
Ц четно). |
|
|
||||
Рассмотрим |
теперь случай, когда |
|
|
|
||||||
|
U |
+ |
а |
а > |
. а • |
|
|
|
||
|
; сс. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
'& ч |
|
|
|
|
||
Если в этом |
произведении |
среди индексов / 1г. . fk |
||||||||
есть хотя бы один индекс ft, который |
не равен ни од |
|||||||||
ному из /(, . . . , |
f', |
то тогда |
аналогично |
имеем |
|
|||||
и = а,В, |
а , В - \ - В а , — 0. |
|
|
|||||||
|
|
ч |
ч |
|
и |
|
|
|
||
И из неравенства (1.58) опять следует |
|
|
|
|||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.61) |
|
|
afkUh |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(если один из |
индексов |
Д........ fk |
не равен |
ни одному |
||||||
из индексов /( . .. /').
Поскольку в «новых» ферми-амплитудах а атшрокси.- мирующий Гамильтониан Гп имеет вид
Га — f Е (/) a i a f + const,
мы видим, что рассмотренные выше средние, построен ные на основе гамильтониана Г, в случаях (1.59), (1.60), (1.61) будут равны нулю, если их вычислять на основе
аппроксимирующего гамильтониана |
Г„. |
Следовательно, неравенства (1.59), (1.60), (1.61) можно |
|
переписать в виде |
______ _ |
| ( . . . > r - ( . . . > r j < ^ | / |
(1-62) |
55
где под знаком средних стоят ранее рассмотренные произведения.
Таким образом, среди всех произведений
Pf •• • Pf |
(s — четно), |
М's
вкоторых Pf расположены в правильном порядке (т. е.
все |
операторы рождения стоят |
слева, а все опера |
торы |
уничтожения справа), нам |
останется рассмо |
треть произведения
++
в которых каждый из индексов |
. .. , fk равен одному |
|
из индексов |
/(, ... , f'k. Но такие |
произведения, оче |
видно, можно |
привести к виду |
|
± V - - \ \ ••• V
Положим
k = |
+ |
+ |
|
... |
а. = |
а, |
... а. а |
о |
|||
я |
'ft |
'1 |
|
'ft |
О-63)
+
а( В tk
и заметим, что (все индексы fu . . . , f k различны между собой)
+ |
+ |
+ |
\ Bk + Bk \ = a,'fta.'fta,'ft—i ... |
aeоa,*i ... V , + |
|
|
+ + |
+ |
|
+ V f . V , |
affiaf, |
Поэтому из неравенства (1.58) будем иметь
<9Ift>r
! + / (fft)/6 W*"1)
V/
| / 4 + | f (1.64)
и, в частности, для 3l1= af -af найдем
( \ Ь Х |
1 + е£(Д)/е |
(1.65) |
Но, очевидно, |
|
|
Кроме того, |
+ е‘Mf,)/0 ~ ( ahaf)T |
|
|
|
|
<Я*>г ~ |
= 0 . |
( 1.66) |
r« |
1 + / W / 6 |
|
5a
Поэтому из (1.64) следует, что
Ml
4V '
откуда, преобразовывая, имеем
|<Я*>г -<Я*>Гв| <
^ ~2 | |
( ^ f t - i ) r e | + К ~\/~ev + |
• (1 -67) |
|||
Из неравенства (1.65) следует, что |
|
|
|||
|<3li>r-C*.>rJ < |
t f - | / ^ v + W - |
(1-68) |
|||
Из неравенств (1.67) и (1.68) вытекает |
|
|
|||
I<я*>г - (Ht)r> | :< к |
/ г г + |
«X {1 + 1 + |
... + ( ! ) ' ' ' } < |
||
Итак, резюмируя вышесказанное, мы |
убедились, что |
||||
для произведений |
|
... |
р. , |
|
(1.69) |
|
Т1 |
|
|||
|
|
>S |
|
|
|
в которых операторы |3^ расположены в правильном порядке, справедливы неравенства
§ 7. Доказательство близости средних при произвольном расположении операторов в средних. Замечание II
Рассмотрим сейчас случай произведений (1.69), в ко торых операторы (Д расположены в произвольном по рядке.
Заметим, что в системе индексов Д, . .. , Д некото рые из них могут быть равны между собой.
Выделим из совокупности индексов Д........ Д все не равные между собой индексы, обозначая их Д, . . . , Д1,
57
чтобы каждый (один или несколько) из индексов fu . . . , f s
равнялся бы одному из индексов /[, |
f'k. |
|
Представим рассматриваемое операторное произве |
||
дение в виде |
В, |
(1-71) |
В. |
||
+
где Bf, обозначает произведение операторов af„ af, с од
ним и тем же индексом Однако в силу коммутационных свойств ферми-опе-
раторов |
нетрудно заметить, |
что |
Bf всегда |
можно при |
||
вести к одной из следующих форм: |
|
|
||||
Вс, = ± |
Вг — ± |
af„ |
B y = ± Cly-Cly, |
(1.72) |
||
|
|
|
|
|
||
|
в г |
± а , а , = |
± (1 |
V V )’ |
|
(1.73) |
|
|
|
|
|
|
|
оставляя |
в стороне |
тривиальный |
случай, |
когда Вг то |
||
ждественно равно нулю.
Произведения (1.71) будем приводить к правильному
+
порядку, переставляя соответственно операторы af, только влево, а операторы ау только вправо. От такой перестановки число членов не будет «размножаться»,
поскольку все индексы |
различны между собой, |
и только в случаях (1.73) Bf |
состоит из суммы двух |
членов. |
|
Поэтому число произведений операторов, располо женных в правильном порядке, на которые разбивается
исследуемое произведение, будет равно 2?, где |
q — |
|
число Bf, имеющих форму (1.73). |
воспользовавшись |
|
Но, очевидно, q^.s/2. Поэтому, |
||
неравенством (1.70) для каждого из |
«правильных |
про |
изведений», мы получим для рассматриваемого общего случая
| (Р/, ‘ • • h s)r
(1.74)
Резюмируя вышеприведенные рассуждения, сформули руем теорему.
-58