Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
Т е о р е м а |
1.1. Пусть выполнены условия 1 (см. |
§ 1 главы 1); |
тогда для разности одновременных сред |
них, построенных на основе гамильтонианов Г и Га, справедлива оценка (1.74).
Следует подчеркнуть, что в данной оценке мы всегда можем взять за К значение (1.56)
Но тогда полученная оценка (1.74) не позволяет, во обще, переходить к рассмотрению случая 6 -> 0, даже если
ек —> 0 при V —>оо
равномерно по отношению к температуре 6 в интер вале О < 0 ^ 0 о, где 0О— любая фиксированная темпе ратура.
С другой стороны, на основании ранее сказанного, мы можем воспользоваться для /С «равномерной оцен кой», взяв значение постоянной (1.57)
к- = ^ { м ‘ + |
^ м < Т ■ |
|
если все значения fu |
f2, . .. , |
fs лежат здесь в области, |
в которой |
E( f ) > у. |
|
|
||
З а м е ч а н и е II. |
Заметим, между прочим, что |
|
было бы неправильно думать, что разность (1.74) на
самом деле всегда стремится к |
нулю при V —>оо |
|
равномерно по отношению |
к 0 (0 > |
0) даже в области, |
где E(f) = 0, а отсутствие |
такой |
равномерности обу |
словлено лишь нашим методом рассмотрения, допу скающим чрезмерную мажорацию.
Чтобы интуитивно |
понять причину отсутствия равно |
|||
мерности по отношению к 0 |
в области, где £(/) = О, |
|||
возьмем тривиальный |
пример: |
|
||
где |
Г = |
Г7+ |
Г1, |
|
|
|
|
||
r a = V £ ( f ) a f«f, E (f) = |
||||
f |
■v |
+ |
|
|
Гх = |
e > О, |
|||
|
ecifa,f, |
|||
59
причем е О , V—>оо. Понятно, что бинарные средние, вычисленные по гамильтонианам Г и Га, имеют вид
(afaf)r = |
, + e [E<f)+"eW• |
|
|
(af'af}va= |
] + eE№ • |
||||
Возьмем какое-либо значение / = |
/0 |
так, чтобы |
|||||||
Тогда |
|
е <м |
= 4 |
|
- |
^ ° |
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||
<“/Л>г ~ |
<“Л ) г а = |
|
|
|
|||||
Положив здесь 0 — 2е > 0, |
найдем |
|
|
|
|||||
+ |
|
+ |
|
|
|
i |
t |
|
|
(afaf) |
— (о, о.) |
|
— ------ --------- . |
||||||
\ |
и У г |
\ |
т« У га |
|
1 + |
\Ге |
|
2 |
|
Таким образом, даже в рассматриваемом сейчас простейшем случае мы не имеем равномерности по от ношению к 0->-О предельного соотношения
+ |
+ |
(aiaf)r ~ |
(afaf>ra 0 при (/~*00 |
в области Е (f) = 0.
§ 8. Оценки асимптотической близости многовременных корреляционных средних
Перейдем теперь к рассмотрению «многовременных средних» и будем оценивать разности вида
<р, М |
У > г - <е , ,('■)••■ |
\ ( 4 ) > г ; |
Здесь принимаются следующие обозначения. |
||
1. Операторы |
входящие под |
знаком средней |
( . . . ) г, определяются уравнениями движения для га мильтониана Г с начальными условиями
Р/ (0) = Pf-
2. Операторы $t {t), |
входящие под знаком |
средней |
( . . . ) г , определяются |
уравнениями движения |
для га- |
1 а |
|
|
мильтониана Га и теми же начальными условиями.
60
Заметим, что операторы |
рt (t) |
для |
аппроксимирую |
||||
щего гамильтониана |
Г0 можно представить |
в |
форме |
||||
с явно заданной временной зависимостью |
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
«(/) = |
£(/)> |
если |
pf = .af, |
|
|
||
«(/) = |
— £(/), |
если |
Pf = |
4* |
|
|
|
a,f. |
|
|
|||||
Полагая выполненными условия 1 (§ |
1 главы |
1), |
уста |
||||
новим справедливость неравенства*) |
|
|
|
|
|||
KPf, ('■)••• Pf,e)>r -< P ,,(<.)■•• М ' А |
к |
|
|
||||
|
|
|
|||||
5-1 |
|
£ |
|
г -------— |
|
|
|
с т1 /2 1 '1 // - * / +>1 + 2 ^ +1к |
у |
еу +-%1, |
(1.75) |
||||
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
= V2M, { -§ - + ( К |
+ i L |
i l |
/ М , )2}'А(1.76) |
||||
( /= 1 , 2, 3, ...).
Заметим прежде всего, что поскольку оба гамильто ниана Г, Га не зависят явно от времени, обе рассма триваемые средние будут инвариантны по отношению к временным трансляциям
t-> t + т
с произвольным т. Взяв т = — ts, мы получим ситуацию в которой ts заменится на 0. Поэтому справедливость неравенства (1.75) будет доказана, если докажем нера венство (1.75) лишь для частного случая ts = 0. Учи тывая характер временной зависимости операторов pf (t) для аппроксимирующего гамильтониана Гя, видим, что
*) С переходом к «старым» ферми-операторам установление аналогичного неравенства сформулировано теоремой 1.2.
61
нам |
следует доказать неравенство |
|
|
|
|
|
|
<,+ •■■+“ (fs- i) г,-.} ^ |
... |
pfj>r |
< |
||
<Т1(^ |
{ |^J—^2 I + ••• + |
(s—2) 1^s-2 ^s-1 | + |
(s ~ |
!) 1^-1 1} + |
||
|
|
+ 2 |
eK+ - |
M 2 |
(1-77) |
|
Но так как |
4V |
|||||
|
|
|
|
|
||
|(Pfl( ^ . - . P f s ^ - ')P fs (0)>r - |
|
|
|
|
||
|
_ e- 4 “ (f .)+ -+“ (f,-.)f,- .)(p fi ... |
pfs) |
|
|
||
|
|
••• |
|
1 a |
|
|
|
= l(fif,(tO |
|
|
|
|
|
|
X e 4 “ (fi)fi+-” +“ (^ -1) ^ - 1} _ ( p fj |
... pf^ |
|
|||
|
if1№ ) ..- P f,- 1(^i)P f,(°)> r -<Pf, |
••• |
POr J ’ |
|||
где |
|
|
|
|
|
(1.78) |
|
PfW = Pf(0e,“ (f)', |
|
|
|
||
то неравенство (1.77) |
эквивалентно неравенству |
|
||||
| <Pf, (h) • • • Pfe_, |
p,s (0)>r - <p,, ... |
р,4>Гв I < |
|
|||
|
+ ••• + ( S _2)|^_2—^ - l| + |
(s— |
|} + |
|||
|
|
+ 2^ +1k Y * y + W - |
( L 7 9 > |
|||
Нетрудно убедиться, что это неравенство (1.79) будет доказано как только мы установим, что
|<Pf, (^1) • - ■Pfs_, ( ^ - 1) Pf,(°)>r — |
|
|
|
-<P f.(°) ... |
Pfs_,(0)Pfs(0))r | < |
|
|
< лР {I f, - M + • • • + (s - |
2) I |
I + (s - 1)! |
I}. |
|
|
|
(1.80) |
62