Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
и применим его к формуле (1.32). Получим |
|
|||||||
Па ^ |
((/а — Сa) ... |
PfsPfs |
... (3f; (Ja—Ca))r |
V Da + |
||||
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
< |
V ( ( h - |
Ca) (/u - |
C J)r |
VDa + V |
|
У Da . |
||
Положим для сокращения |
|
/=1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Напишем |
< ( 4 - c a)(/a - c |
a))r = |
Aa. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V K < |
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Da< Aa + |
2 |/A a ^ |
|
+ |
У |
I M W |
I |
||
|
|
v |
|
|||||
|
|
/=1 |
н = 1 |
|
|
|
||
Применяя это неравенство к средним (1.31) с учетом
(1.28), |
(1.29), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
<pfl ... PfsW |
|
|
|
Мо |
|
|
|
||
fs ... pfl)r < 2 P ( f ) ^ - + |
|
|
|
||||||
+ |
2P(/)j |
^ | G a |Aa + |
2 2 | G a |-(/Aa |
|
|
+ |
|||
|
|
(a) |
(a) |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
г' I KUi) I |
|
|
Mo |
|
|
||
|
+5 Xi Y |
|
|
< 2 P ( / ) ^ + |
|
|
|||
|
|
4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2P(f){e„ + 2 /< v |
} / |
^ | G a |
Y |
1Xa(fj) |
\ \ |
+ |
||
|
V |
\ |
|||||||
|
* |
|
|
a |
|
'/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
V ]G„| |
y i i i A U |
. |
||
Ho |
|
|
|
|
|
|
4/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S I M M |
l O |
S l M / / ) |
I2, |
|
|
||
|
|
7=1 |
J |
|
7=1 |
|
|
|
|
43
откуда
a 4/= I ' /=1
Таким образом,
<Р/, ••• Pf/f^fPfe ••• Pf,)r <
Mr,
< 2 P ( f ) ( - ^ f + ( v 4 + - f
41/
|
< 2M,{-^ + (V/% + -f № ) 2} |
(1-37) |
и аналогично |
|
|
( h • • • |
+ + |
|
• • • Pf.)r < |
|
|
|
< 2 / И , { А + ( ^ - + - £ .^ Я :) ! }. |
(1.38) |
Теперь, после установления неравенств (1.30), (1.37), (1.38), мы можем уже перейти к доказательству асимпто тической близости средних для гамильтонианов Га, Г.
§ 4. Оценки для разности одновременных средних
Прежде всего займемся вопросом об «одновремен ных средних» и получим асимптотические оценки для разностей вида
(Pf, • • • Pfs)r — (Pf, • • • Ръ)Гв- |
(1-39) |
Заметим, что эти разности следует рассматривать только при четных значениях s. При нечетных s оба члена в (1.39) тождественно равны нулю. Действительно, оба гамильтониана Га, Г инвариантны по отношению к кано нической замене ферми-амплитуд:
+ +
af, af -> — af,
т. е. в амплитудах a
+ +
—с о af —> — a,f.
Поэтому
'Pi‘s)/г , г
откуда и следует сделанное нами замечание. При нахождении оценок для рассматриваемых разностей
44
основное значение имеют спектральные представления [46—53J для двувременных средних:
оо
(Л (/) • В (т))г = [ JAiB{®)eia{t- v da,
(1-40)
(В(х) ■A(i))r = С /д, в (со) еа/веш' {t~v da,
где A(t), В(т) — некоторые операторы в представлении Гейзенберга, определенные как функции времени урав нениями движения:
i ^ T |
= A( t ) H - HA ( t ) , |
Л(0) = |
Л, |
i ^ A l |
= B(x)H-HB{%), |
В (0) = |
В. |
Заметим, между прочим, что мы используем данные спектральные представления только при фиксированном объеме Г, а в этом случае гамильтониан Г имеет
дискретный |
спектр *). |
qpv полную систему его собствен |
||
Обозначим |
через |
|||
ных функций, |
а через |
Ev соответствующие собственные |
||
значения. Тогда, как можно убедиться, |
|
|||
(Л(0*5(т)>г=2(фуМфц)(фц.5фу)е |
Бц)« Vq |
|||
|
|
V, [I |
|
|
где |
|
|
Q = Sp е~н/в |
(1.41) |
и |
|
|
||
|
|
|
|
|
/л,в(ю) = |
2 |
(Tv, ЛфцНфц. Bq>v)e~B'>/ed(Ev—Ell — (i>)-Q~'. |
||
V, ц |
|
|
|
|
Входящие в (1.40) интегралы оказываются, следова тельно, дискретными суммами.
Особое значение для нас, впрочем, имеет не деталь ная структура функции так называемой спектральной интенсивности JА, в (со), а лишь ряд свойств таких спектральных интенсивностей, которыми мы будем здесь
*) Это обеспечивается условиями 1 (пункт 4 главы 1, § 1).
45
постоянно пользоваться. Мы имеем ввиду следующие общие соотношения:
J+ (со)>0,
А, А
-fоо
|
J + (со) cfco = |
(Л • Л)т |
|
|
|
А, Л |
|
|
(1.42) |
4 -0 0 |
|
|
|
|
|
] + (со) еи'9 da — (Л • Л)г, |
|
||
|
Л, А |
|
|
|
11 h] (со) h2(со) /л, в (ю) | da < |
|
|
|
|
(« |
|
+ (со) dco J | h2(со) |2/ |
|
|
|
I h[ (со) |2 / |
+ (со) dco |
||
(/) |
л, л |
( I ) |
В, в |
|
|
|
|
||
для непрерывных функций |
/г, (со), |
/г2(со), где |
I — любой |
|
(в частности, бесконечный) |
объем интегрирования. |
|||
Рассмотрим специально спектральные представления:
+ |
+0° |
(со) еш (t~x) da, |
|
(af (/) af (т))г = |
f |
/+ |
|
+ |
-со |
af |
af |
+оо |
|
(1.43) |
|
(af (x)a;(t))r — |
f |
/+ |
(со) ea/eeiu>U-v da, |
|
-oo |
af |
af |
+ |
4-oo |
|
|
/* |
/+ |
( а ) е 1< » « - 1 Ы а , |
|
W ) R f ( p » r = |
J |
||
|
Rf , Rf |
||
|
—oo |
/ |
Г |
+ |
4-00 |
|
|
/* |
J+ |
( a ) e ^ e i a i t - ^ d a . |
|
( t ) ^ f W )r = |
|
||
|
- i |
« r |
Rf |
Здесь Rf, Rf —те же, |
что в уравнениях (1.20), (1.22); |
||
+ |
d a f (t ) |
+ |
|
= |
|
------ |
E U)af(t)> |
|
d a . |
(t) |
|
R f (0 = * — ^ |
-------- |
£ ( / ) a / (t). |
|
46
Нетрудно |
заметить |
отсюда, |
что |
|
|
|
|
|
|
de~iE<f>*а./л |
|
|
|
-lE(f)t — _ / _ |
|
||
|
|
Rf (t) e~iE |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. deiE(f}Taf (x) |
|
|
|
|
Rf (t) eiE (f) x — i |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому, на основании (1.44): |
|
||||
+oo |
|
|
|
|
|
Г |
/+ |
(со) el (га-Е |
(*-т) da — |
|
|
«1 |
R*. Rt |
|
|
|
|
-oo |
Rf'Rf |
|
|
|
|
|
|
|
de |
iE (f) * a (t)f \ |
(delE >f) Ta f ( x ) |
|
|
|
|
dt |
) \ dx |
Проинтегрируем это равенство no t и т соответственно по интервалам (t, / -f- А), (т, т + А), где А — произволь ное число. Получаем
+оо |
|
|
|
|
I |
J+ н |
| е 1 ( и —Я (f)) Д __ j |2 |
el (<a-EW)(t-T) f a : |
|
(» - £ (f))2 |
|
|||
- i |
RfRt |
|
|
|
|
= ({e~iE<f> |
(f + |
A) — e-l'E 4 f (0} X |
|
X {eiE(f) <Т+Д)а^ (t + A) — e‘E (f>xaf (т)})г_
Но правую часть этого равенства можем определить также из формулы (1.43). В результате получим
Iл «в-я №) д _ 1 I2
/+ (со)^Ц----- — _ L L e<to-B (/))(<-!) rf(B==
—оо I I
-f-оо
= Г / + ( и ) 1 е П « - в < 0 ) А — 1 |2 e i ( c o - f i ( f »
-00 “f af
Поскольку это равенство имеет место при произволь ных значениях (/ — т), мы видим, что
/ + (со) = /+ |
(со) (со - Е ( П ) 2. |
|
Rf<Rf ' |
&f>сtf |
|
47
П оэтом у, на основании (1.42):
(’ |
J+ |
(©){© — Е (/)}2 da — (Rf • Rf)v, |
*- ар, ар |
||
сю / |
/ |
|
f |
/+ |
(со) e“ /e {со- £ ( / ) } 2 < /« = = < /?r R f) r |
Jat, a?
-OO / '
Принимая во внимание неравенства (1.30), убеждаемся отсюда, что
-J-oo
f |
J+ |
И { со -£ (/)} 2Л о < 2 М ,{ ^ + ^ 1 , |
||
«> |
ap, ap |
1 |
} |
|
-CO |
I |
I |
|
(1.45) |
-foo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следуя |
основной идее |
нашего метода, |
изложенного |
|
в работе [29], оценим теперь разность |
|
|||
|
|
D = {аг В)г - е~Е<»/0 (В • af) r , |
(1.46) |
|
где В — произведение |
нечетного числа |
операторов, |
||
+
расположенных в «правильном» порядке, т. е. все а} стоят слева, а все су справа:
+ |
а . ,, |
В = ... а, ... |
|
ч |
ч |
и установим ее асимптотическую малость.
Как мы далее увидим, отсюда сразу же будет выте кать асимптотическая малость разностей (1.39).
Заметим предварительно, что нам надо рассматри вать только такое положение, когда все /у между собой
различны, так же как и все f'k между собой различны,
поскольку в противном случае В окажется тождественно равным нулю. Но в такой ситуации, учитывая нечет ность полного числа операторов |3/ в произведении В, всегда справедливо хотя бы одно из следующих утвер ждений:
48