Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
1) В |
операторном |
произведении |
В имеется один |
оператор |
+ |
индекс f. не |
равен ни одному |
af такой, что |
из индексов f остальных операторов |3?, содержащихся в В. 2) В операторном произведении В имеется один
оператор af такой, что индекс fh не равен ни одному
из индексов / остальных операторов (if, содержащихся в В. Пусть справедливо, например, утверждение 1). Мы
можем написать тогда, что
B = af.W,
где W — произведение остальных (5f, имеющихся в В:
W = ... pf ... |
(1.47) |
Поскольку число операторов, входящих в W, четно,
а их индексы f все отличны от /., мы видим, что af
должно коммутировать с W:
В = af.W = Waf..
Произведя сопряжение, найдем также
В = Waf. = a fW.
С другой стороны, из (1.47) сразу же следует, что
Поэтому |
|
Г Г < 1 , |
1. |
|
|
|
|
+ |
+ + |
+ |
ВВ — a,f.WWaf[ ^ |
ВВ — cif.WWaf. ^ |
|||
откуда |
|
|
|
|
|
ВВ + |
1. |
Совершенно аналогично убеждаемся в справедливости этого операторного неравенства и в случае 2). Таким образом, всегда
49
откуда следует, что
+ оо |
|
|
Г /+ (<о)(1 + e ffl/0)rfco< 1. |
(1-48) |
|
•' |
в, в |
|
Обратимся теперь к величине (1.46). С помощью рас сматриваемых спектральных представлений напишем
|
|
+" |
|
|
1 |
— e |
0 |
/ fifco |
(1.49) |
|
|
/+ |
N i l |
||||||
|
|
—00 а/,, В |
|
|
|
|
|
||
|
|
+°° |
|
|
|
|
a-E(f) |
|
|
|
|
f 1/+ |
|
N 1 |
1 — e |
0 |
da. |
(1.50) |
|
|
|
J |
Of, в |
|
|
|
|
|
|
|
|
—00 |
|
/ |
|
|
|
|
|
Заметим здесь, |
что если |
|
|
|
|
|
|||
то |
|
|
|
« > £ ( /) , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( о - Е (f) |
<о—В (f) |
|
|
|
|
|
|
||
1 — е |
9 |
0 |
|
-1 < |
|
|
|
|
|
|
|
®-Е (f) |
, |
г- .... И |
|||||
|
|
|
< |
|
|
||||
|
|
|
ta-£(f) е |
6 |
(ю ~ |
1/)) с я |
|||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
поскольку всегда, по определению, |
|
|
|
||||||
Далее, |
если |
|
|
£ (/)> 0 . |
|
|
(1.51) |
||
|
|
со < £ ( /) , |
|
|
|
||||
то |
|
|
|
|
|
|
|||
a>-E(f) |
|
|
|
{Я (f)—од} |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
£ (D - а> |
||||
|
1 — е |
0 |
— 1 — е |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
всегда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<д-Е(п |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — е 0 |
|
< -|с° ~ £(Ж (1 + е ^ , |
|
|||||
ввиду чего из (1.50) вытекает |
|
|
|
|
|||||
|
+00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
\ ^ j I |
| / + |
(со) | • | со — £ (/) | • (1 + е“ /е) с?со. |
||||||
|
— 0 9 |
а*, В |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50
Отсюда, воспользовавшись неравенствами (1.42), по
лучим |
_______________________________ |
|||||
I ^ K - g - l / |
f |
и |
(со)(со — Е (f))2(1 + |
еш/е) da> X |
||
Y |
-о. |
|
af’af |
+°° |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
(* |
/+ |
(Сй)(1 + e^)d<0. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
~io |
в’в |
|
Принимая во внимание неравенства (1.45) и (1.48), по
лучим поэтому |
____________ |
|
|
M i( e ,+ 4 * f ) . |
(1.52) |
§ 5. Замечание |
I |
|
Эта оценка была получена, основываясь на триви альном свойстве (1.51). Поскольку здесь 9 входит в зна
менатель, то такой |
оценкой нельзя пользоваться для |
|
рассмотрения перехода к нулевой температуре |
||
|
0 —> О, |
|
даже если ек ->0 |
(F-»oo) (равномерно |
по отношению |
к 0->О). |
|
|
Пусть теперь для рассматриваемых / |
|
|
|
£ ( / ) > Y, |
(1.53) |
где y — некоторая положительная постоянная. Так как
мы видим, что неравенство (1.53) всегда выполняется вне сферического слоя:
2 т
Возвратимся теперь к неравенству (1.50). Заметим, на основании ранее сказанного, что
м - Е (f) |
^ \ф - Е( П\ ст ст ( | у- д <f>) |
1 — е 6 |
|
для
с о > £ ( / ) ~ | у .
61
Кроме того, |
(о-£ (f) |
|
|
|
|
|
1— е 6 |
|
для значений |
|
|
|
c o < £ ( / ) - f у. |
|
Таким образом, из (1.50) находим |
|
|
оо |
|
|
| £ > | < f |
J+ И | c o - £ ( f ) | e “ /0 rfco|e-v/3e + |
|
J |
а ,.В |
D |
■2 |
аГВ |
|
E ~ j V |
|
|
|
|
4 v |
|
+ |
da, |
|
|
«р В |
\ D \ ^ j e
Но из (1.45) следует, что
2V |
|
|
|
|
* |
J+ |
(ш) da ^ |
2Мх [ev -f- |
|
ас*,, ас* |
|
( 2 Y / 3 ) 2 |
|
|
~оо |
I I |
|
|
|
Поэтому получим |
|
|
|
|
|
/ |
<BS>r + |
^ |
г J X |
|
|
|
X |
) / 2Mj (еи + - § - ) , |
откуда учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
(£В + |
В5)Г< 1 , |
|
52