Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Г л а в а 2

ПОСТРОЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ МНОГОВРЕМЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СРЕДНИХ

Во второй главе, существенно основываясь на резуль­ татах главы 1 и доказанных в ней теорем, будут по­ лучены обобщенные предельные соотношения для много­ временных корреляционных средних, Г-произведений, функций Грина. Последовательные выводы нахождения обобщенных предельных соотношений резюмируются теоремами.

§ 1. Правила отбора и вычисление средних

Займемся сейчас правилами отбора для средних, рассматривавшихся в § 8 главы 1, т. е.

(^f, (*<) • • • Afs (^))-

Как уже отмечалось, при нечетном s эти средние тож­ дественно равны нулю.

Сформулируем теперь более жесткие правила от­

коммутирует при любом значении /0 со всеми опера­

68

Поэтому операторы (2.1) будут коммутировать с модель­ ным Г и аппроксимирующим Га гамильтонианами и, следовательно, будут для них интегралами движения.

Введем унитарные операторы:

Uh = ijh = e- ‘<PK-"-f0)i

где ф — произвольное вещественное число. В силу только

Но ввиду унитарности имеем тождественно:

(C f/f, (Л) ■• • Af,Vt) Cf,)r =

... (5 ,Д ,,Й ) Г ,,)) Г.

Таким образом, нами доказано, что при любом зна­ чении f0

(y4f,(/i) . .. Л?х(4))г =

^ {{Uf Afi(U)Ufo} ... {UfoAfs(ts) U fo))r . (2.2)

69

Поскольку оператор nfa — n~fo, а, следовательно, и one-

раторы f/f0, Uf„ являются интегралами движения для гамильтониана Г, то соотношения (2.3) останутся вер­

ными и в случае, если в них заменить операторы as,

+

af соответственно на операторные функции времени a;(t),

+

определяемые уравнениями движения для гамиль­

если для какого-либо индекса /0 имеет место неравенство

N + (/о) — N - (/о) ф 0.

Будем говорить теперь, что двое Afjl А; из рассма­

триваемых операторов УЦ, ... , Af образуют пару, если

70

Действительно, пусть Л,, будет таким неспаренным оператором. Имеются две возможности:

Нами рассматривались сейчас средние для гамильто­ ниана Г. Из приведенных рассуждений ясно, что полу­ ченные результаты справедливы также и для средних, взятых по гамильтониану Га.

71

Заметим далее, что поскольку аппроксимирующий гамильтониан I а является квадратичной формой из ферми-операторов, то для вычисления выражений

1 а

можно воспользоваться обобщенной процедурой Вика, установленной К- Блохом и С. Де-Доминицисом.

В соответствии с этой процедурой средняя (2.5) равна сумме произведений бинарных средних

Г1 {Afitti) А1Ч(^))Г ( ц = ± 1, fq = ± fi). (2.6)

Суммирование здесь происходит по всем возможным способам спаривания в произведении Afi, ... , Afg.

Число членов в сумме (2.6) равно, следовательно, числу

Входящие в (2.6) бинарные средние вычисляются непо­ средственно с помощью преобразований (1.18).

Имеем для бинарных средних следующее выражение:

72