Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 0
Итак, даже в рассматриваемом простейшем случае мы видим, что средняя
{vVa( r u t i ) ^ o ( r 2, t 2))v |
(2.19) |
а
Представляется рядом (2.13), сходящимся лишь в обоб щенном смысле, и выражение (2.19) определено, следо вательно, только как обобщенная функция ги г2 даже при конечном V.
§ 4. Доказательство предельных соотношений
Перейдем теперь к доказательству предельных соот ношений (2.16). Обозначая
DAh) = |
^ |
h(elPl, ... , |
esps)DPi ^ |
^ ^ (2.20) |
|
P i ....... Ps |
|
|
|
D P v a v ■■■• P s - as = = ( y4P, .0,(^1) • • • |
Aps, as (4))r — |
|
||
получим |
благодаря |
(2.15) |
|
1 a |
<? |
|
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
(2.21) |
|
p I.... Ps |
|
|
|
Учтем здесь упоминавшиеся уже правила отбора, ис |
|
пользуя их для Dpv 0]. .... ps,as- Благодаря этим правилам, |
|
суммирование в неравенстве |
(2.21) надо вести только |
по таким ри р2, ■■■, ps, для |
которых система операто |
ров АРг о , . |
. . , Aps,os может быть распределена на пары |
Арг оЛьк, ч , |
причем- |
pk = pj, |
если |
Oj = ak, |
Pk = — pj, |
если |
Oj = — Ok- |
Обозначим |
|
|
? /,= ? .- Р/2 = |
А,2. •••> Plslt = q*l2‘ |
|
Имеем |
si2 |
|
s |
|
|
J J (p'i + Mh) = Ц |
t f + Mh)2 • |
|
79
Обозначим, далее, через i(s) число различных разбие
ний операторов Ар |
0,, |
•••. |
Aps. os на пары. |
Очевидно, |
|
|
l(s)< |
1 -3 ... (s — 3) (s — 1). |
|
||
Тогда |
в правой части |
(2.21) сумма |
(...)г>азо- |
||
бьется |
на I (s) сумм |
типа |
р......ps |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
(•••), |
(2.22) |
|
|
«V |
4s |
|
|
причем в различных таких суммах могут оказаться и одинаковые члены. Для их исключения в некоторых из сумм (2.22) суммирование следует вести не по всем (<7,, ... , <7s/2) из рассматриваемого квазидискретного множества, а ввести ряд «запретов» типа
(qi ф ± q{')*).
Так как все члены в рассматриваемых суммах (2.22) положительны, то мы можем снять эти «запреты», лишь усилив тем самым нашу мажорацию.
*) Возьмем, например, средние вида
(Т0 (г1, tx) Уа (гъ 12) (г3, /3) Тд (r4 tt)).
В этом случае в (2.21) будет s — 4 и
о, ...[ р,, о { apt, о (М ар,, а {*%) ар„ а Сз) ар,. а (^ ))г —
++
|
|
|
|
|
— ( ар |
о Сl) ар,, |
ОСз) ар . О(*3) ар,. п (^ ))г |
• |
||||
По правилам |
отбора |
Dpt 0i. |
|
0 может |
быть |
здесь отлична |
от |
|||||
нуля, лишь если pt = |
р4, |
р2 = р3 |
или р 3 |
Р з , |
рг = |
р4, так что I = |
2. |
|||||
Обозначим, как условились выше, |
p\—q\. р2 =q2- Имеем |
|
||||||||||
1 |
Dг |
|
: Рь О |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р.......Ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
у |
D Чи О; 9г, о; 9i. |
О; |
7 г, о |
|
|
|
+ |
|
||
|
|
9i. |
9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
У |
D9i> О; 9г, а; 92, а; 9, о. |
|
1 |
|
||||
|
|
|
'П Wi + Mhy |
’ |
||||||||
|
|
|
|
9i. |
9г |
|
|
|
|
|||
|
|
|
<9i ^ |
9г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку во второй сумме правой части нужно исключить член Уже учтенный в первой.
80
Таким образом, из (2.21), на основании (1 .88), найдем
(2'23)
Но, с другой стороны, нетрудно заметить, что
1 V |
1 - |
Г |
d4 |
|
I |
г _ |
fev' |
' |
V |
(q2 + M h) |
( J2 |
я (),732+ |
Л 1 л ) 2 |
^ |
|||
ч |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
_ |
4п |
Г |
R2 dR |
|
|
|
|
|
|
(2я)3 J |
(Д2 + |
М/,)2 + |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
где £v —>0 ПРИ |
|
Поэтому |
можем |
написать |
||||
|
Т !L |
(?2 + Мл) |
^ |
С |
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
где С(М) — постоянная, зависящая лишь от М. Имеем теперь из (2.23)
\Dv ( h ) \ ^ W K hl(s) Cs/2(Mh).
Таким образом, нами доказано, что для любой функ ции h(ru . .. , rs) из класса 9? справедливо неравенство
J h ir v |
•••> |
^о,){(г <р ФМ |
• • • |
T |
o |
J |
'V |
М )г “ |
|
- |
<Фо, (ГР t l ) |
• • ■ |
( r s> *,)>rJ d r i |
• • |
• |
| = |
|
||
|
= ! f l , № ) l < C ( s, Kk, |
|
|
|
|
+ |
|
||
|
|
|
|
s—1 |
|
|
|
|
|
+ |
[ v ®i/ н |
у |
|
i=l |
/ U/ — ^/+i i+ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 ^ |
- | / e |
K+ - | f } , |
(2.24) |
|||
где
C(s, ffftl 44/,) = 2IS+ h/2 / (s) KhCsn (Mh)
является постоянной, зависящей лишь от s, /СЛ и Л1Л. Соотношения (2.24) и показывают справедливость обоб щенного предельного соотношения (2.17).
Сделаем еще примечание относительно возможности
получения |
равномерных в |
температурном интервале |
|
(О < 0 ^ |
90) |
мажорационных |
оценок, даже если условия |
E ( f ) ^ y |
не выполняются. |
|
|
81
§ 5. Примечание о построении равномерных оценок
Как уже отмечалось ранее, для постоянной К всегда можно взять выражение (1.56)
Д' = { V Ж - |
|
В случае, если во всем пространстве Ф |
|
E( f ) > у, |
(2.25) |
где у — положительная постоянная, отличная от |
нуля, |
мы можем в неравенстве (2.24) положить (см. фор мулу (1.57))
К — Q/y, |
где Q = |
4{2M , + 2 (-|)2 M, }1/2. |
|
|||||
Таким образом, в этом случае, если е(/—>0 (F-*oo) |
||||||||
равномерно в температурном |
интервале ( О < 0 ^ 0 о), то |
|||||||
и полученная |
оценка |
(2.24) |
будет равномерной |
в этом |
||||
интервале. |
Покажем, |
что такая ситуация |
имеет |
место, |
||||
даже если условие (2.25) не выполняется. |
|
|
||||||
В этом случае несколько модифицируем неравен |
||||||||
ство (1.88), которое используется для раскрытия соот |
||||||||
ношений |
(2.21). |
Фиксируем |
какое-либо |
у > 0. |
Тогда |
|||
(1.88) верно для |
K ~ Q l y |
в области, в которой |
|
|||||
|
| 7Чр, )| >у. |
•••’ \T(ps) \ > y , |
|
|
||||
поскольку |
из |
неравенства \ Т ( р ) \ ^ у следует E ( f ) ^ y . |
||||||
В области, |
где хотя |
бы одно из | Т (р;) [ удовлетво |
||||||
ряет неравенству 1Т{р/)\^. у, воспользуемся тривиаль ной оценкой
| < A1t (*,) ... A,g (ts))r - |
< Afl (f,) ... |
(ts))Fa | < 2. |
|
Таким образом, всегда можно написать |
|||
DPi-av |
|
|
|
+ 2*+ |
l «, |
+ § - Д |
e , (t (Pl)} + |
|
|
/“ * |
|
|
|
|
s |
|
|
+ |
2 V ( 1 - 0 v(7’ (p/))}> |
|
|
|
M |
82