Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

определен по всем пространстве Ф'^ (т. е. для всех

точек ([,,

/s)), поскольку

везде в Ф^’ определены

функции

Q(f),

Т (/),

£(/).

 

Если функция Q(f) не зависит от V, то и рассма­ триваемый полином тоже не зависит от V.

С другой стороны, равенство

<4fl(/i), . ... \ ( f s))

= Р ( / „

fs,

ts) (2.9)

1 а

имеет место,

разумеется, только

для

квазидискретных

индексов

 

 

2я«1

2лп2

2я«3 '

f =

(p,o),

р

 

 

 

т. е. только на множестве Ф^’, поскольку только для таких индексов f имеют смысл сами операторы

+

Ар — а^, О-f.

Таким образом, зависимость рассматриваемых сред­ них по гамильтониану Га от V (в случае, когда Q (/) не зависит от V) обусловлена лишь тем, что за (fu . fs)

принимаются точки множества Фу*.

§ 2. Обобщенная сходимость

Введем понятие сходимости для функций

 

М / . ,

fs)

(V-+O0),

 

заданных на множествах Ф^1.

 

 

fs) равно­

Будем говорить,

что функция Fv {fx,

мерно

сходится

(Е —>оо)

к

некоторой

функции

F(f 1,

fs), определенной

 

на

всем

Ф(5), если можно

указать

последовательность

чисел

 

 

 

 

6у —» О,

 

V —>оо

 

 

такую,

что везде на множествах Ф{у

выполняется нера­

венство

IFy (/1>•••> h)

F (fi>

• • •> fs)

 

73

Заметим теперь, что благодаря (1.88), (2.9) имеем

везде на Фу*.

Таким образом, в соответствии с только что введен­ ным определением сходимости, убеждаемся в справед­ ливости следующего примечания к теореме 1.2.

Если выполнены условия 1 (см.

стр. 35) и, кроме

того, функция Q()) не зависит от

V,

то существует

предел

 

 

lim (^Afl (t\) . .. Afs (ts))r — P (f i. • • • >

11,

.. ., ts). (2.11)

V-^oo

 

 

До сих пор рассматривались средние, составленные

+

из произведений ферми-операторов af, af. Перейдем теперь к операторным полевым функциям

^ a(r,t) = y y ^ a p,a(t)eitp-rK

v р

( 2. 12)

Суммирование здесь идет, как всегда, по рассматри­ ваемому множеству квазидискретных р.

Будем иметь дело со средними, составленными из произведения операторных полевых функций, построен­ ными на основе модельного Г и аппроксимирующего Г0 гамильтонианов

(фа, (И> t\) ••• 4>os (r.s,t s))

,

1 *1 а

где s — четное число (при нечетном s они тождественно равны нулю) и где

Ф0(ir, f) = 4,'a(r, 0 или Чrg(r,t).

74

В силу (2.12) можем написать

 

 

 

 

 

 

Фа ( г , 0 =

 

- U - ^

 

Ар, a{t)eulp'r\

 

 

 

где

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^Р,о^=аР,о’

е = 1 ,

если

ф = -ф,

 

 

+

 

^

 

1>

ССЛИ

 

-+-

 

 

== &Р,а>

 

ф ;::= ty.

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• <Фа,(ГР О •••

Фа9К *

0 > Г Г

=

 

 

 

 

 

 

1

*

 

' 1а

 

 

 

 

 

 

 

 

= ф^/2

 

 

 

 

• • •

V

' » s ^ ) r г

К

 

Pi...... Ps

 

 

 

 

 

 

 

’

“

 

 

 

 

X ег (е1(^rri)+•••+ M / v 's)}.

(2.13)

Рассмотрим разность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(% ,(ГГ О •••

ФаJ r s’

*,))Г -<<Р0,(Г1> V • • •

Фа,

('s ’

Q \

и покажем, что для

V -» оо

 

она

стремится

к

нулю, но

уже в обобщенном

смысле,

принятом

в теории

обоб­

щенных функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним

здесь, что в этой теории называется обоб­

щенной сходимостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fv (ru .

rs)->F(ru .... rs)

при

v -

oo,

(2.14)

F(ru .... rs) =

lim Fv {ru

 

rs).

 

 

 

 

 

V

°°

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим класс C(q, v) (где q, v — положительные числа) непрерывных и бесконечно дифференцируемых функций h{r|, ... , rs) таких, что во всем простран­

стве Ets) точек (г,, . .., rs)

{ k i l + •••

+ \ r s \}ii)\ h{ r l,

. .. , rs) К

const

 

0 =

0, 1,

2, ... ,

v),

 

{ | r , | + ...

+ k ,l} (/)

 

/!+••• +4sh

const

d xT, a,

^

 

 

 

dx3s,a3s

 

(j — 0, 1, 2,

v,

+

•••

+ <7зs — 0>

•••> <7,

 

 

a j =

1,

2, 3).

 

75

Здесь

(Xt.l, Xl, 2 i Xt.:i) =

rt.

Если мы можем фиксировать

положительные числа

q, v таким образом, что для всякой функции h ( г , ........rs)

из

класса

С (q, v) справедливо соотношение

 

|

h(ru

rs)Fv (ru ... ,

rs)drh

dr s—>

 

 

 

J h{ru

rs) F( r it

.. ., rs) d r u

drs,

при V-+co, то говорят, что имеет место обобщенная сходимость (2.14). Для нашей цели ограничимся рас­ смотрением класса SB— С (qu v,), в котором числа qb v, подобраны так, чтобы фурье-образ функции

h(pu ... , ps) =

= [ А (г,, . . ., rs)e (p‘r,+ +/Vs)dr,, . . ., drs,

был непрерывной функцией (p,, ... , ps) во всем про­ странстве E{s} и удовлетворял неравенству

 

 

\h(p\,

•••,

р Д | ^ —----—------ ,

 

(2.15)

 

 

 

 

 

 

 

П (Р/ + м н)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

Кп — const > 0 ,

Mh — const >

0.

 

 

Покажем,

что для любой функции h( r u ... ,

rs) в таком

классе SB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ I

А ( Г р .... rs)(

( Г р

/,)•■•

фos(rs, ts))r

d r , . . .

drs -

— J Л (Г 1......^КФаДИ-

*.) - %

s(rs, ts))T' d r , . . . d r s J ^ O

при E->oo. Иначе

говоря,

 

ввиду (2.13)

докажем, что

- W

S

Я(е!Рр

 

 

 

 

•••

^ . « sW )r -

 

Pl.....Ps

 

 

 

 

 

{ts))

 

 

 

 

 

(^ P rai(^i)

•••

}

0.

(2.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

1 aJ

 

 

76

Здесь суммирование идет по точкам (р{, ps) из

квазидискретного множества Еу . Тем самым мы

и до­

кажем,

что в о б о б щ е н н о м

с м ы с л е

 

{(Ф01(г,, U ) . . . % s(rs, t s) ) T —

 

при V

-(ФаД'Т- М

g > rJ - > 0

(2-17)

ОО.

 

 

§ 3. Замечание к обобщенной сходимости средних

Может возникнуть вопрос, почему сейчас, при рас­ смотрении средних от произведений операторных поле­ вых функций, нам пришлось ограничиться доказатель­ ством лишь обобщенной сходимости (2.17).

Дело в том, что даже при фиксированном, конечном объеме V ряды (2.13), представляющие сами средние, могут, вообще говоря, расходиться в обычном смысле.

Возьмем, например, выражение

О М г,, u y v a {r2, U))v .

а

Имеем

/,) ^ 0(г2, *2)>Го =

= у \ ] < а р ,'Л * О ъ .« М Гае‘Ь>*-"Л.

Р\> р7

Отсюда, учитывая установленные ранее правила отбора и формулы (2.7), получим

(ЧД(г„ (,)ТД(г2, t2))r

=

 

 

 

а

 

 

 

 

— ^ ( а Р . a (^l) а р,

О ( h ) ) r a е 1

(Г1*"Гг)) —

Р

 

 

 

 

 

т(О

J E (f) Щ -Щ giP (г{- г г)

2V

E(!)l

 

\ + е Е(f)/e

■tE <f) («,-Щ

+ J _ Y ( i +

UZ>

e iP

2V

ЛЛ \

^

Е (f)

1+е - Е Ш/9

Возьмем для простоты случай, когда тождественно

т = о.

77

Тогда

 

 

 

 

E( f ) =\ T t f )

2

т

и мы имеем

 

 

 

 

 

 

<ЧГ0(Г„ и ) Ча {Г2, t2))T

=

 

 

 

 

<

---ц

 

 

„

| 2m

 

- e i P ( r , - r 2)

 

 

 

 

- - 2

1+ e1

 

 

P"—< p

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

( l ^

) {t'~U)

eip (r,-r2)_ (2.18)

„ (,2m й) 0

2m > M-

Как видно, при фиксированном V первая сумма со­ держит конечное число членов, а вторая — бесконечное. При этом

--------- --------j— * 1 (lpl ->°°). 1+ е

Следовательно, указанная вторая сумма предста­ вляет собой расходящийся (в обычном смысле) ряд.

Нетрудно заметить, впрочем, что данный ряд

является сходящимся в обобщенном смысле. Действи­ тельно, умножив его на функцию h{r{, г2) из класса 3? и проинтегрировав, получим ряд

сходящийся

абсолютно,

поскольку

 

1

yi

 

1

h ( p , — P) К

 

V

^

 

 

-(-ZL-n)±

 

 

2m

>

p 1

о \2m Щ 0

 

 

 

+e

 

 

>

Kh

 

v

_______

Kh

d p

 

V

 

- J

(р2 + МЛ)2

АЛ ( 2 n f

(p2 + Mhy + ^

 

 

 

Рг

 

2m> P

 

 

 

 

2m PH

 

 

где £v ->0 при V -> oo.

78

Смотрите также файлы