Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
Т) получим |
обычный гамильтониан БКШ |
|
|
Я = |
V |
Tfafaf — ~ y i ( f , f') afa-fa-f’Cif. |
(3.3) |
|
f |
f. f |
|
Укажем, что |
для проведения всех рассуждений нам |
||
не потребуется |
явное выражение (3.2) операторов |
Т и / а. |
|
Достаточно будет наложить следующие общие условия:
|
| / a K A f „ |
| TJa: ' |
I ^ 442, |
(3.4) |
|
I |
' J a К 7 |
Ai^p |
I ^ |
||
7 |
|||||
где Mu M2, M3— постоянные при |
V^-oo. |
Здесь сим |
|||
волом | ... | — обозначается норма соответствующих опе раторов. Мы предполагаем также, что свободная энер гия на единицу объема для гамильтониана Н — Т огра
ничена постоянной и что число |
членов |
s в сумме |
(1) |
|||
фиксировано. |
рассматривать гамильтониан |
(3.1) |
при |
|||
Итак, |
будем |
|||||
условиях |
(3.4). |
Соответствующий |
аппроксимирующий |
|||
гамильтониан возьмем в обычной форме: |
|
|
|
|||
Н° = Т ■ -2V |
2 (Са ■/ а + Caf a) ~f 2V |
S |
| Са |2. |
|||
|
1< a < s |
1< a < s |
(3.5) |
|||
|
|
|
|
|
||
Входящие сюда постоянные Са определяются из условия абсолютного минимума функции
f „ . ( C) = — LQ lnSpe- ^/0 |
(3.6) |
в области всех комплексных переменных С = (Си . . ., Cs). Это комплексное пространство точек С = (С1; .. ., Cs) будем обозначать {£Д. Воспользовавшись минимизи рующими значениями С, вычисляем свободную энергию на единицу объема по способу аппроксимирующего гамильтониана:
fH° — minftf°(C). |
(3.7) |
{яД |
|
Возьмем также соответствующую свободную энергию для рассматриваемого гамильтониана (3.1):
fH = - ~ Q \ n S p e ~ ^ . |
(3.8) |
93
Докажем, |
что разность (/я° — fH) стремится к нулю при |
|||||
V —>оо. Для этого удобнее рассмотреть вначале |
вспомо |
|||||
гательную |
задачу с гамильтонианом |
|
|
|||
|
V = H - V |
2 |
(va/ a + |
va/ a), |
(3.9) |
|
|
|
1< a< s |
|
|
|
|
где v,, |
vs — произвольные |
комплексные параметры, |
||||
отличные |
от нуля. |
В |
этой |
задаче |
соответствующий |
|
аппроксимирующий гамильтониан имеет вид |
|
|||||
|
Г° — Н° |
V |
2 |
K /a + |
V a ). |
(ЗЛО) |
|
|
|
I < a < s |
|
|
|
Входящие сюда комплексные величины С = (С,, |
Cs) |
|||||
определяются также из условия абсолютного минимума функции
|
|
|
fra(C) = - |
y In S p e -1”/0. |
|
(3.11) |
|||
Будем |
получать |
мажорационную |
оценку |
разности |
|||||
(fг, — fr), |
показывающую |
ее |
асимптотическую |
малость |
|||||
при В |
>оо, |
Здесь |
/г„ = |
min fr„ (С), |
а /г — свободная |
||||
энергия |
для |
|
|
{я5} |
Г. Хотя |
эта |
оценка для |
||
гамильтониана |
|||||||||
(/г„ — fr) будет проводиться в случае | va | > |
0, окажется, |
||||||||
что она имеет место равномерно по отношению к \ - > 0 и мы сможем перейти далее к пределу va = 0 (1 <1 a ^ s).
Тем самым получим оценку для (/я» — ///)» устанавли вающую ее асимптотическую малость при V —>оо.
Итак, начнем рассмотрение аппроксимирующего га мильтониана Г°. Нетрудно показать, что задача абсо лютного минимума функции (3.11) имеет решение и что такой минимум реализуется для конечных значений
Ck = C\ (1 < 6 < s ) . В этом можно убедиться, восполь зовавшись неравенствами
I i {\Ca \2+ (\Ca \ + 2Min - 4 M 2]s + y + fr >
а
> fro (С) > ^ {| Ca Р + |
(I Са I — 2е д - |
4Mh - Y + !т> |
а |
|
|
|
C j - 4 M h - y + fT, (3.12) |
|
С = (С....... . Cs), |
Y = 2Al12 | v a | |
( l < a < s ) . |
|
а |
|
Таким образом, функция fr„(C) имеет в некоторой точке C° = (Ci, . ... Cj) абсолютный минимум,
94
Раз/ф„(С) непрерывно дифференцируема, |
то в точке С п |
|||||
|
01Го(С) |
О а йф s), |
|
|||
|
дСа |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
т. е. уравнение |
для |
определения |
Са |
будет |
иметь вид |
|
|
Са |
(^а)г» |
Sp Iдб |
Г°/е |
|
|
|
Spe-1'"/0 |
• |
|
|||
|
|
|
|
|||
Учитывая условие (3.4) ограниченности операторов |
||||||
получаем | Са |
М, = const. |
|
|
|
|
|
Перейдем теперь |
к построению неравенств, ограни |
|||||
чивающих разность свободных энергий (/г„ — /г) на еди
ницу объема, через посредство средних величин |
вида |
||
Y = ~ 2 У, |
(/« — Са) (У^Г — С„). |
(3.13) |
|
1< а < s |
|
|
|
Для этого заметим, что |
Г = |
Г° + 91, и введем |
проме |
жуточный гамильтониан |
|
|
|
г* = |
г° + |
т , |
|
который при t = 0 совпадает с аппроксимирующим гамильтонианом Г° из (3.10), а при/=1—с исходным Г из (3.9). Входящие в Г* постоянные С = (С,,..., Cs) пола гаются фиксированными, не зависищими от параметра t.
Рассмотрим конфигурационный интеграл *) и свобод ную энергию для «промежуточного» гамильтониана ГД
Q ,= S p e - r 4 |
f t (C \, • • •, C s) — — |
In Q;, Qt = e ~ v it l \ |
(3.14)
Дифференцируя равенство (3.14) два раза по t с учетом правил операторного дифференцирования, получим
V |
d2ft |
j V2 |
I |
dft \2__ |
1 |
Sp \ 9te |
|
0 |
dt2 |
Q2 |
\ |
dt ) |
Q2Qt |
||
|
принимая во внимание
d h |
_ l |
Sp9te~r</e |
dt _ |
V |
S p e_ r “/e |
~o~з -Д-Ц-П |
d%\ |
91e 0 |
l_W ,
V
*) Математические вопросы существования и свойства анали тичности конфигурационного интеграла были рассмотрены в ра боте [57]. Дальнейшее обобщение доказанных там теорем было сделано в работе [58].
95
находим
д*п _ |
1 |
|
Г* |
Г 1 |
I —-л |
|
|
Sp %е |
" |
'Не |
dx — <9l)2 |
= |
|||
dt2 |
w |
||||||
Qt |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 S p i » e |
0 « е 0 " |
%)] d x , |
||
|
|
Q V Q t |
|
|
|
||
|
|
3 3 = |
3 |
l _ ( 3 1 ) . |
|
||
Переходя к матричному представлению, в котором га мильтониан диагоналей, имеем
d2ft |
1 |
VТ, <■3"пт^ззп |
EL~En |
|
Еп |
|
|
6 |
Z |
B dx = |
|||||
dt2 |
evQt |
||||||
|
u |
rt, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
(е ( - е П |
||
|
|
У 133„mI2 |
' m |
n> |
|||
|
|
|
|
dx^O . |
|||
|
|
0^ Qt 0 n, m |
|
|
|
|
|
Отсюда, в частности, следует, что |
|
d2ft |
^ 0, и потому |
||||
|
d t 2 |
||||||
dft |
(Й)t |
|
увеличением |
параметра /. |
|||
|
— уменьшается с |
||||||
Имеем, далее, |
учитывая, что fT не |
зависит от С, |
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
fro(C) — /г =---- J Д £-* = - |
J |
|
|
|||
Поскольку это соотношение верно для всех С =■■( С , , Cs), имеем также гшп/Г0( С ) ^ /г, т. е. / г„ ^ / г.
{e s}
Проинтегрируем неравенство (Щ)г ^(31) (0<^< П ).
Подставляя вместо |
|
21 выражение (3.13), убеждаемся, |
|
что для любых С = |
(Сь . . . , |
Cs) справедливо неравенство |
|
fTo ( C ) - f r < 2 |
2 |
<(/а _ С а)(/а - С в)>г. |
|
|
|
1<а <s |
|
Положим здесь Са = |
(/а)г ( l ^ a ^ s ) и заметим, что |
||
/г° = |
min /г, (С) < /г, ((У)г>). |
||
|
|
{£s} |
|
96
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
f г0 |
|
Г° (4)г) |
4 |
^ |
|
|
и окончательно |
|
|
|
|
||
о < /Г5 - |
/г < 2 ^ 2 ^ |
<(4 - ( 4 ) г )(4 - |
(4>г))г *); |
(3.15) |
||
здесь, |
как всегда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
fr0= min fr„ (С)- |
|
(3.16) |
|
|
|
|
|
\MS) |
|
|
Напомним нашу основную задачу: |
мы хотим |
пока |
||||
зать, |
что |
разность |
(/го — fr) является |
асимптотически |
||
малой при И->оо. Как видно из полученного неравен ства, эта задача была бы решена, если бы удалось установить асимптотическую малость среднего в правой части (3.15).
Используя основную |
идею работы |
[14], |
попытаемся |
|||||
выразить |
эту правую |
часть через |
d2f |
Дифферен |
||||
dv а dvа |
||||||||
цируя, имеем |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
а2/ |
|
J |
1.Г+ |
|
0 ) dt |
||
|
S p \D (a>e 0 |
D^e |
||||||
0 |
dva dv* |
е2 |
о |
|
__г |
|
||
|
Sp e |
0 |
|
|||||
где Dia) — Ja— (4 ) ( l ^ a ^ s ) . Переходя к матричному представлению, в котором Д диагоналей, найдем
п, т |
о |
|
п, т |
*) З а м е ч а н и е . |
Для удобства далее не будем ябно указы |
вать статистическое усреднение, соответствующее гамильтониану Г,
т. е. будем писать ( . . . )г = |
( . . . ) . |
4 Н. Н. Боголюбов (мл.) |
97 |