Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

£ 2 1

I V ' w e - * '£,,/в I <

п, т

|

£

I DK, Pi Е . -

Е т

+ е

- ^ )

-

п, т

*= -£ Sp е~г/0 {(Г£>(а) - £>'а,Г) (Ь(а}Г — ГЬ(а)) +

+ (D(a)r

— ГЬ [а)) (г п (а) — £>(а)г)} =

= V <(г/а - / аг) ( г /а — / аГ)+ +

где

+

( г Г - Уаг ) + ( г / а-

Г г ) ) <

2ИМ2,

M = M2 + 4MlM3s + 2M3

2

|v a

Отсюда получим

1<a<s

{

V

-

e - W I < (------^ У /3 {2М>У)Щ

У \ 0 [ 1{ 121е-Е^

Q п,

тп

\

3va 3va/

Далее напишем

£

£

o 2 J V

«

I Ой, I8* - s»'“" '8

п, тп

< 4 Е

т

Ш ^ ( ^ - ,е- ^ - /е) +

Q jU

(E n - E m )

п, тп

V

е |)

+ д - 5 ] | ^ 1 21 ^ /е - ^

где

5]

I D(Z |2 *Г£я/е = -ji Sp D(a)Dia)e^Vie=

V (D{a)D{a)> =*

п, тп

дЧ \

0

.

(2М

2 )

] р

d 2f \2/3

0va dv*a )

у

у2/з

( -

9v„ dv„

Подставляя это

неравенство

в (3.15),

найдем

0 < f r . - f r « 2 -5 -

I

('

ava <4 ,

I <-- aЛ,

<<- sо \

+

2

/с\

ЯТОч 1/3

S

( —

\v3

(3.17)

у2/3

(2М2)

dva <5v*

l< a < s\V-

)

Отсюда видно, что наша задача

была бы выполнена,

если бы удалось

установить

ограниченность

вторых

производных

d 2f

при

К —>оо.

Однако, к сожале­

dva dva

раться

лишь на ограниченность первых производных

I <5/

<A f,

(1 < a <

s).

dva

связи

с этим

разработаем способ, в котором не

В

водных

и с помощью

которого можно показать асимп­

тотическую малость

разности

a =

fT, — fr-

Для

дальнейшего

нам удобнее будет в неравенстве

(3.17)

перейти к переменным

ra>

Ф».

Га = Га К -

Va)>

Ф« =

К -

Va)

0 < a < s ) ;

соответственно

>

1> ФР •••»

rs’

<PS)'>

тогда

d*t ^

|

l A

( rai L \ +

i l

l

}

.

(3.i8)

5va dva

4

I

ra

^ra \

dra)

d<fa

Га j

l

4*

99

Теперь

воспользуемся

неравенством

| а ( г и . . .

,r s\ q p 1(. . . .

Ф , ) а| ( г< и ! . . . r,s ; . .. . . . . . . . . Ф , ) —

—a(£i,

•••,

L; л.........

+

•••>

Л1........

п ,Ж

да

I ~Ь

^

да

Фа — %

I +

д г а

йфа

1^

а < s

1< а < s

+ 1а(£„

• ••> £s!

Ли •••>

Л^) 1>

(3.19)

и возьмем

в нем

Га + К 1 а < Г а + 21,

фа < Ла < Фа + ?>а,

так,

чтобы

(I ^ а ^

s)

(£i

• •. L:

Ль • • •> Л*) =

+

г^+2/

гs+2/

Cpj+6j

С ...

f

d r

f . . .

[

</ф я (г,

ф)

Т Т

(Та)

__ r , + Z

r s + l

Ф,

ф*

1 < а <

---- ,

(3.20)

^

Д

{ [(/-а +

21Y -

( Ла +

О2] ба}

1< а ^

5

где

обозначено:

d r

d r {

•

• d r s ,

d(f =

с?ф1

.. й?ф5,

r =

( n,

r s),

Отметим, что

Ф = ( Ф 1 ,

• •. ф*).

df

< 2Ми

df

<

2М,ГV ,а

дга

дфа

(3.21)

да

< 4 М„

да

AM На-

д г а

<?Фа

оценить следующим

образом:

V

да

1+ 2

да

Фа — Л а К

д г а

<3фа

1< а < s

1< а < s

< 4M ,s- 2/ +

4М,

s — \2Mxsl.

(3.22)

Выражение а (|,,

. .. ,

gs;

т),,

. .. ,

т]^) ограничим, ис­

ходя из

формул (3.17),

(3.20).

Подставим (3.18)

в пра-

всем

значениям переменных г,, . .. , rs, ф1( ...,<р4 в сле­

дующих пределах:

Га +

^

га <

га + 21,

6а =

Цга

( l < a < s ) ,

Фа ^4 Фа ^

Фа +

Йа.

Тогда

получим

° <

J

•••

/ а (П> •••> rs\ ф,........ ф,)Х

X Г{ ■г2 . ■. rs drx ... drs d(fx ... dys<

^

2

V J ' ' ' J

(r2 ' r3 • ■•

rs) +

F2 {rx• r3 ...

rs) + ...

• • •

+

Fs(rx -r2

... rs-x)}drx ... drsdq>x ...

dys +

+

J • • • J I ' r

r. ) + Fr

. . .

+

F2J3(r, • r2 ... /-y3)) dr{ ...

drs dq>x ...

(3.23)

здесь

д

.

д ( - П

(1 < a < s ) .

дга

a

дга

Рассматривая отдельные члены суммы (3.23), перед ко­

торыми стоит множитель 0/(2 V), видим,

что их можно оце­

первые производные

дf

df

0 Фа

-X- ограничить с помощью

иг а

0

^

2Mi (6р + 2)

П {(ra + 2/)2- ( r u + /)2}6a. (3.24)

2V

2 j

i . 2s-1 6r

i <p<s

Р

^ a < 5

рассуждения

для всех членов суммы,

перед которыми

М 2/3

стоит множитель ■~2/3 , получим

М 2'3

((бр + 2) 2Мх)2/3

п «Л, +

20г - ( г „ + (Л6„.

£

2s-h2l4 f

K K s

(3.25)