Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом, условимся

иметь дело с гамильтониа­

ном,

имеющим вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г =

Я +

2V 2

Taga (Ja- Са) (Jа -

С а)

=

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= т - 2V 2

gaj J a +

2К 2

xaga(/а -

Са) (7а -

Са)

(3.78)

 

 

а

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(та >

0, а =

1, 2, . . .,

s).

 

 

 

 

Покажем, что теперь при сделанном выборе Г у нас

не возникает трудностей с определением

квазисредних

<91>я =

Нш Нш <91>г

(т„ >

0,

a =

1,

2,

. . .,

s).

 

 

 

Т ->0 V ->00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

этого

заметим

прежде всего,

что при

Т| =

1, ...

.. . ,

ts=

1

из

(3.78)

будем

иметь

 

 

 

 

 

г =

Т -

2V 2

g a (faCa+ / Д )

+

2 ^ 2

g a C j

a = Я (С)

 

 

 

а

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

(см. еще формулу (3.84), стр.

129).

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(/а “ С0) ( / « - £ „ ) > О,

 

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я (С) — Г

О для 0 < та <

1,

Г — Я ^

0,

а = 1, . .. . s.

Следовательно, справедливы неравенства

 

 

(3.79)

 

 

 

 

fv { H( C) } >f y( T) >f v (H)

 

при

0 < т о < 1 .

(3.80)

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0^ f v { H( C) } - f v ( H ) ^

<IL {Н (С)} - f v {H) 1+ 1L {Я (С)} - h {Я (С)} I.

Поэтому, на основании теоремы 3.3, получим

0 < f v {H(C)} - fy (Я )< 6 К + 6К,

откуда, учитывая (3.80), находим

0 ^ f v ( V ) - f v ( H ) < K + bv>

0 < / к { Я ( С ) ) - Д ( Г ) < 6 , + б к.

127

Воспользуемся теперь неравенством (3.63), положив в нем

Г0= Я , Г1== Г — Н = 2V %аT aga(Ja - C a)(Ja - C a).

Тогда, основываясь на первом из неравенств (3.81), получим

2

t aga((/„ — Ca)(/a — Ca))r <<V + би.

(3.82)

 

a

 

 

Таким

образом,

мы доказали следующую теорему.

Т е о р е м а 3.4.

Пусть выполнены условия

теоре­

мы 3.3 и Г представляется выражением (3.78), в котором

О < та <

1,

а =

1,

2, . . . ,

s;

 

тогда имеют место следующие неравенства:

 

0 < + (Г) — fv (H) <

+

6K^

0

при

V —>оо,

< (/a -C a)(/a

Ca)>r <

^

/ - >

0

 

при

V —>00,

a

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.83)

где т 0— наименьшая

из величин

 

 

 

• у Ts*

т , ,

т 2,

. .

 

П р и м е ч а н и е

к

т е о р е м е

3.4. Рассмотрим более

общий случай, когда

в выражении

 

 

 

 

H = T - 2 V ^ g aj J a

а

операторы Т, Ja не связаны представлением (3.2) и удовлетворяют лишь условиям теоремы 3.2.

Тогда, заменив в приведенных выше рассуждениях теорему 3.3 на теорему 3.2, убеждаемся, что теорема 3.4 остается справедливой.

Заметим еще, что доказанная теорема 3.4 в случае конкретного вида операторов (3.2) и при выполнении условий теоремы 3.3 дает возможность непосредственно преобразовать гамильтониан Г к форме (1.14), (1.15), при этом окажутся выполненными условия 1 § 1 главы 1

иусловия Г § 7 главы 2. Имеем, действительно:

Н = Т - 2V 2

ga {/aCa + JaCa} + 2 1 /2 gac ac a -

a

a

 

- 2 У 2 g a ( + - C a) (Ja Ca)

128

и потом у *)

г = Н(С) ~ 2У S ga(1 - та) (]а - Са) (Ja - Са). (3.84)

а

Как видно, этот гамильтониан имеет здесь вид гамиль­

тониана (1.14), (1.15), в котором

положено:

 

Га =

Н(С),

Q(f) = 2 2 l gaXa(f)Ca,

 

 

 

 

а

 

 

(3.85)

К =

2 V 2

8аё аСа, Ga = 2ga(1 — та) > 0 ,

 

Са =

Са.

В силу теоремы 3.4 выполняется

неравенство

 

 

 

S Ga<(/„ - Сд) (1а ~ Ъ ) Г <

8К,

(3.86)

где

 

 

 

 

 

 

 

6v + 6v

„ g

 

 

 

 

то

 

 

 

равномерно по отношению к температуре 0 в любом

интервале вида 0 < 0 ^

0О.

 

 

 

 

Тем самым установлена справедливость пункта 3)

условия 1 (§

1 главы

1).

 

1 (§

1 главы 1),

V (§ 7

Остальные

пункты

условий

главы

2) тривиально

вытекают из

неравенств

(3.37),

(3.38), условия (3.39) конечности числа s в суммах по а

и независимости величин С от V.

 

 

Мы можем поэтому воспользоваться всеми предель­

ными теоремами,

доказанными

в главах 1 и 2.

 

Так

как Га =

# 00(С), запишем теоремы о существо­

вании пределов

Нш (91>г =

Нш (51),,

 

 

 

 

 

а

 

в виде

 

 

V со

у

°о

 

 

 

Нш (91)г =

Нш (91)Я (су

 

 

 

 

 

 

 

 

У-> оо

У

оо

 

 

Но Я(С) не зависит от параметров т в рассматривае­

мом

случае,

когда

 

 

 

 

 

0 < та <

1, а = 1 , 2, . .. ,

s.

(3.87))*

*)

Здесь

 

 

 

 

 

Н (С) =

Т - 2V ^

8а GaCa + / аСа) + 2V

2

8аСаСа

 

 

а

(1 <«< $).

а

 

 

 

 

 

 

5 Н. Н, Боголюбов (мл.)

129

Поэтому и выражение lim (91)г не зависит от т, лежа-

\7-> оо

щих в области (3.87). Следовательно, когда все т,, . . ., ts стремятся к нулю, оставаясь положительными, имеем тривиально

Пт Пт (91)г — Пт(?1)„

Квазисредние в данной ситуации можем определить соотношениями

< ? l> „ =

Нт (91>г =

Пт (91>я (5

(3.88)

 

V со

V -> оо

 

в которых т могут

принимать

любые значения

из об­

ласти (3.87).

раз, что главным пунктом

наших

Подчеркнем еще

рассуждений было установление неравенства (3.82), основанного на неравенстве (3.81).

Из неравенства (3.81) следует предельное соотношение

lim fv (Г) =

Пт fv (Н).

(3.89)

\/ оо

у -> оо

 

§ 9. Вопрос о выборе знака членов с источниками

Заметим, между прочим, что данное предельное соотношение, вообще говоря, перестает быть справед­ ливым для отрицательных значений т . В самом деле,

возьмем, например,

га = — соа,

соа >

0 (а — 1, 2,

. . .,

s).

(3.90)

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Г = Ги=

Н -

2V 2

<*аёаVa - Са) (7а -

Са).

 

 

 

а

 

 

 

 

 

Воспользуемся неравенством (3.63), положив в нем

Г0 = Г,

Г = 2V 2 соа£а (7а - Са) (7а -

Са).

 

 

 

а

 

 

 

 

 

Тогда в (3.63)

гамильтониан будет

 

 

 

и

 

Г0 +

Г, =

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fv Ш) - fv (T J > 2 2

соaga <(/а -

Са) (7а -

Са))я-

(3.91)

Но, очевидно,

а

 

 

 

 

 

 

+ +

 

 

 

 

 

 

 

 

( a - f a f ) H = О,

 

 

 

 

( a f a - f ) n ~

 

 

 

130

Смотрите также файлы