Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г л а в а 4

МОДЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ

КОМПОНЕНТАМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В четвертой главе рассматриваются как модельные системы с положительными компонентами взаимодей­ ствия, так и системы, содержащие сразу положитель­ ные и отрицательные компоненты четырехфермионного взаимодействия. При условиях 1 § 1 главы 1 построено асимптотически точное решение для таких модельных систем.

Развиваемая здесь методика приводит к принципу минимакса для модельных задач с четырехфермионным взаимодействием и позволяет находить асимптотически точные выражения для свободных энергий и многовре­ менных корреляционных средних.

Предлагается также вторая эквивалентная формули­ ровка принципа минимакса.

§ 1. Гамильтонианы с отрицательными константами связи (отталкивательное взаимодействие)

Рассмотрим гамильтониан, получающийся из гамиль­ тониана Я, изучавшегося в предыдущей главе, заме­

ной

£а на — ga

 

+

 

 

 

 

Н = Т + 2V

£ gaJaJa,

(4.1)

где

ga > 0,

а =

(1<а<г)

 

1, .. •, г.

аналогии, попробуем

по­

Исходя

из

соображений

строить для такого Я

обычную

форму

для соответ­

ствующего аппроксимирующего гамильтониана

 

Я (С) = Т + 2V 2

ga {Ca/ a +

CaJa -

СаСа).

(4.2)

137

Имеем

 

// = // (С) + 2И Vаga(/„ - С„) (4 -

Са) > Н (С).

Поэтому теперь, в огличие от предыдущей главы,

fv ( H ) ^ f v {H(C)},

(4.3)

причем это неравенство выполняется для любых ком­ плексных С. Следовательно, если мы желаем подобрать постоянные С в форме (4.2) таким образом, чтобы fv {Н (С)} оказалось возможно ближе к выражению fv (Я), мы должны определить С из условия абсолютного максимума [33]:

С = С, /у {Я (С)} = max fv {Н (С)}.

(4.4)

(С)

 

Предположим теперь, что в рассматриваемом гамиль­

тониане (4.1) операторы Т,

/ а удовлетворяют

 

условиям

I fv(T)\<Mo,

Н а К М1. м 0,

Лф =

const.

(4.5)

Введем выражение

 

 

 

 

 

 

Fv {C) = fv {H(C)} + 2 2 g aCaCa

 

 

 

 

 

4 | r +

2 V |g a (Ca4

+ Ca4 )}

(4.6)

и заметим, что

 

 

 

 

 

 

d Fv (С)

 

+ d Fv ( С )

 

 

 

 

17------=2ga(Ja)H(C),

■2g(Ja)

Я (С)-

 

д С а

 

д С а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому в силу условий (4.5)

 

 

 

 

d Fv (С)

2gaMl,

d F v ( С )

2ёаМо

(4.7)

дСа

дСа

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, проблема абсолютного максимума функции

fv{H(C)}

(4.8)

эквивалентна проблеме абсолютного

минимума функции

- fy {Н (С)} = - Fy (С) + 2

2 gaCaCa.

 

a

Поэтому, принимая во внимание неравенства (4.7) и повторяя рассуждения из начала предыдущей главы,

138

мы и убеждаемся в существовании величин С — С, реализующих абсолютный максимум функции (4.8) в про­

странстве всех точек С = (С,,

Cs) с комплексными

величинами Ca ( l ^ a ^ s ) .

 

Поскольку функция (4.8) обладает непрерывными

частными

производными

всех порядков по переменным

 

*

 

 

 

 

 

... Са . . . Са, видим, что значения

 

 

 

Са = Са,

Са = Ь а

(а =

1........ S)

 

являются

решениями уравнений

 

 

 

д f v ( Я

( С ) )

 

d f v ( Н ( С ) )

(4.9)

 

д С а

 

 

дС&

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c a =

(Ja) тсу

С„ ( h Н(С)-

(4.10)

Следовательно, на

основании

(4.5),

 

 

 

| Са | < М ,

( а = 1 ,

г).

(4.11)

Заметим, что в рассматриваемом случае модельной си­

стемы (4.1)

точка С = С является единственной.

Более

того, покажем сейчас,

что решение уравнений (4.9) един­

ственно. Для этого построим выражение

 

fv {Н {C-\-tz)}—Fv (C+/z)—2 2

ga(Qx+ ^a) (Ca+ ^za)> (4-12)

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

z = (zlt ... ,

zr),

 

 

za— произвольные комплексные

числа. Но

 

где

Fv {C + tz) = fv (Г0 +Дф),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r0= r + 2 H 2 £ a(Ca/a+

ca4),

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Г ,

= 2 V 2

g a ( z J a +

2 a / a ) .

 

и потому

 

a

 

 

 

 

 

 

-^rMC + feX о.

 

 

 

(4.13)

Отсюда, на

основании

(4.12),

следует, что

 

 

d 2fv

{ н (С +

/г))

- 4

У

gaZaZa-

(4.14)

 

 

d t 2

<

 

 

 

 

 

 

 

139

Нетрудно заметить, что уравнения (4.9) имеют то реше­

ние С = С, которое дает функции (4.8) абсолютный максимум.

Пусть уравнения (4.9) имеют еще некоторое другое решение С = С. Положим

 

 

2 = С — С,

с =

с.

 

 

Тогда при таких значениях г

 

 

 

d fv

[Н (С + tz)}

= 0

для / — 0

и t = 1,

 

dt

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

J

d2f v {// (С +

tz)}

=

0.

 

 

 

d t2

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И потому В

силу (4.14) 2 & а г аг а =

0,

T .

е. 2 = 0.

 

 

 

а

 

 

 

 

Итак, единственность решения уравнений (4.9) дока­ зана; это решение дает абсолютный максимум функ­ ции (4.8). Воспользуемся, наконец, неравенством (3.34), в котором положим

г о = Н (С), Г, = 2 И 2 £а (/а - Q ( I - Са), Г0 + Г, = н .

а

 

Получим

 

2 2 §а <(4 - с а) (7а -

£ а))н < f (Н) - f {Н (С)} <

а

 

< 2

| ^ а( ( / - С а)(7а- С а)>я,с)- (4-15)

После этого предварительного обсуждения свойств формы аппроксимирующего гамильтониана возвратимся к рас­ смотрению самого гамильтониана (4.1).

§ 2. Особенности предельных соотношений для свободной энергии в случае систем с положительным взаимодействием

Здесь может возникнуть вопрос, верна ли теорема, аналогичная теореме 3.1, для такого гамильтониана (4.1)? Иначе говоря, можем ли мы утверждать, что если операторы Т, Ja, входящие в (4.1), удовлетворяют усло­

140

Смотрите также файлы