Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
и потом у
|
|
<4)я = |
0, |
(1а)ц — 0. |
|
|
|
Имеем, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
((•^а |
Са) U а |
^а) = |
(^а ' ^а)Я + I б’а Р» |
|
||
откуда |
благодаря (3.91) |
найдем |
|
|
|
||
|
f v ( H ) - f v ( \ \ ) > |
2 2 |
cauga|C a |2 |
|
|||
и, переходя к пределу, |
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
lim fv ( H ) ~ lim fv ( r j > |
2 2 ©aga|C a p. |
(3.92) |
||||
|
V7-> oo |
l/->oo |
|
|
a |
|
|
Таким образом, |
если С Ф 0, то равенство (3.89) |
неверно |
|||||
для отрицательных т (3.90). |
|
|
мы и потре |
||||
Учитывая именно это обстоятельство, |
|||||||
бовали |
положительности коэффициентов |
пропорцио |
|||||
нальности га в |
нашем |
выборе |
(3.75) параметров vft, |
||||
характеризующих включающиеся в гамильтониан ис точники.
§ 10. Построение мажорационных неравенств в случае, когда С = 0
Рассмотрим специально частный случай, когда в (3.32)
|
С, = С2= |
... |
= C S= |
0. |
(3.93) |
В этом случае Н (С )= Т , |
и |
потому |
f v (H) — f v (T)—>0 |
||
при |
У ^-оо. Таким образом, члены |
взаимодействия |
|||
—2У |
2j ga/ a/ a гамильтониана Н |
|
асимптотически |
||
|
1< a < s |
|
|
|
|
(V оо) неэффективны при вычислении свободной энергии.
Имеем далее
Г = Г, = Я + 2У 2 garaJaJa=
a
= T - 2 V 2 gad - T a ) /„ /a (3.94)
a
и, ввиду ранее доказанного, для корреляционной средней, построенной на основе этого гамильтониана,
й* |
U1. |
запишем ма.жорашюнную оценку
( S ^ a V a ) r < ^ T “ - >0 ПРИ |
(3-95) |
a
Покажем, что в данном случае (3.93) имеем также
( 2 £оЛЛ >я < £ ц-^ ° при 1/->оо. |
(3.96) |
a
Для этого возьмем гамильтониан
Яв = 7 ’- 2 У (1 + < В) Z g j J a, |
(3.97) |
a
где 0 < со < 1, и составим форму аппроксимирующего гамильтониана
На (С) = Т - 2V (1 + со) 2 ga (cJa + Caj a) +
a
+ 2 V ( l+ © ) S g aCaCa. (3.98)
a
Обозначим через Си точку С, дающую абсолютный минимум функции
U H J C ) } .
Если для какого-либо сколь угодно малого положи тельного со
С“ = 0, |
(3.99) |
то доказательство соотношения (3.96) тривиально. Стоит только в неравенстве (3.95) заменить Я на Яш и взять в гамильтониане Гт для Ям
(О
Та — 1 + со ’
и гамильтониан Г в (3.95) будет совпадать с Я. Нам остается, следовательно, рассмотреть случай, когда (3.99) неверно при сколь угодно малом положительном зна чении со.
Заметим, что значение С = С(ш) должно удовлетво рять уравнениям
д}х {Ни (С)}
т. |
с., |
на основании (3.54), |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. th- ^ Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
” |
= |
T |
& ~F |
ъ JП Г |
{ |
X |
( 1 |
+ |
» > |
« » с “ |
1 |
(!)в ( <4,/ ) ) I . |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
El (/) = |
f£ |
- ,u)2 + |
4 (1 + |
со)* |
J ] |
gpCg% |
(/) |
|
|||
откуда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Tfci)) [ |
8а |
Г | |
о |
/£\ [ г!£ |
Qi |
|
(3.100) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q, == const |
от К |
не |
зависит. |
|
|
||||
Положим теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(1 + |
®) Са — Ха |
|
|
|
(3.101) |
|||
и заметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
L |
{яш(С)} = |
fm {Н (х)} - |
2 |
|
У ^8а\ х а р. |
(3.102) |
|||||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 М) = |
(1 + |
со)<Ди) |
|
|
|
|||
выражение в правой части (3.73) достигает абсолютного минимума.
Поэтому |
|
L i n (*'"’) ] - 2Т Г ¥ 2 |
« « ! Т < L {Н № (3.103) |
С другой стороны, |
|
L {Я (0» = |
min L {#(*)}, |
|
( X ) |
ввиду чего |
|
/00( Я ( Г ) } > /СО{Я(0)}.
Отсюда
0 < L {н ( * “)} - L {н (0)} < 2 |
v ga | х<?> I2. |
(3.104) |
Покажем, что |
a |
|
|
|
|
Хш -> 0 |
со —> 0. |
(3.105) |
133
Действительно, допустим обратное. Тогда, поскольку благодаря (3.100) Х{(Л} ограничено
U r l< ( l +©)-^<Qi,
мы всегда можем выбрать такую последовательность положительных со'—>0, что
причем |
Хы'}-+ X, |
|
|
Х ф О . |
|
(3.106) |
|
|
|
||
Положив в (3.104) со = о/ и переходя к пределу, |
найдем |
||
L{H(X)} = U H ( 0)}- |
(3.107) |
||
Но как мы видели, |
если точка |
С — 0 дает абсолютный |
|
минимум функции |
{Я (С)}, |
то другой точки, |
также |
реализующей абсолютный минимум этой функции, не существует, ввиду чего (3.107) несовместно с (3.106), и мы пришли к противоречию.
Таким образом, соотношение (3.105) доказано. Заме чая, что
L{H(0)} = L(T),
из (3.102), (3.104) получим
- 2 |
V £а I хТ |2< L {яю(см)} - и {(Г)} < о, |
||
т. е. |
а |
|
|
|
|
|
|
где |
0 < L (Г) - L { я ю(с'“>)} < |
©I (со), |
(3.108) |
|
|
|
|
Ш = T T ^ S ^ U a ra,|2 ->0 при со —>0 |
(3.109) |
||
|
О |
|
|
Примем теперь во внимание теорему 3.3. Поскольку |
|||
в рассматриваемом случае Н(С) = |
Н(0) = Т, |
можем |
|
написать |
|
|
|
|
1 М / / ) - и П | < 6 и-*0 |
(17-> 00). |
|
Имеем также для гамильтониана Я(й))
1 ^(Я в) - / оо(Ят (С(ш))|< б „(© )-> 0
при V —> оо.
134
Здесь б(, (со) обозначает 6V для Нь). С другой стороны,
о < fv (Я) - /V (Яй) = fy (Я) - L (Г) + /„ (Г) -
- |
L К (c to))} + |
L { н ж (с ы )} - |
f v (h j , |
и потому |
|
|
|
О< fy (Я) - |
f y (Яи) < 6К + |
Ьу (со) + ©I (со). |
(3.110) |
Воспользуемся здесь неравенством (3.63), положив в нем
Го = Яю, |
Г, = 2V<£> |
gaJaf a, Г0 + Г1==Я. |
|
|
Тогда из (3.110) |
получим |
|
|
|
|
|
\ (со) |
+ -?Г £(«>). |
(3.111) |
|
' ' ' |
2со |
||
|
|
|
||
Но это неравенство справедливо для любого значения со в интервале (0 < со < 1), а его левая часть от со вообще не зависит. Следовательно, левая часть (3.111) не будет превосходить нижней грани правой части в данном интервале
= |
6(/ + |
(®) |
|
inf |
2(0 |
+ т К®)}* |
|
|
О<to < 1 |
||
Нам остается |
показать, |
что |
стремится к нулю |
при V —>оо.
Фиксируем сколь угодно малое число р. На основа нии (3.109) можем фиксировать в рассматриваемом интервале (0 < со < 1) такое число со0, что
I К Х р -
Видим тогда, что
Ь у + 6^ (со0)
2со0
Но, поскольку со0 фиксировано, имеем
V + бг (®о) |
-> 0 при V- О О . |
2соп |
|
Мы можем найти такое значение К0, что
+ |
(®о) |
< 4 |
для |
V > V0 |
2со0 |
|
|||
|
|
|
135
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tv < Р |
Для |
V > Vn, |
|
|
|
|
|
т. е. |
>0 |
при |
F->oo, и соотношение (3.96) доказано. |
|||||||
Ясно теперь, что И принадлежит к типу (1.14), (1.15), |
||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г „ = 7 \ |
т ) = 0, |
Са = 0, |
|
Ga = |
2ga. |
|
|||
Благодаря |
(3.96) |
пункт |
3 условия |
1 |
(§ |
1 |
главы |
1) |
||
выполнен, |
остальные пункты 1 (§ |
1 |
главы |
1) и |
Г |
|||||
(§ 7 главы 2) в данном случае тривиальны. Воспользуемся поэтому предельными теоремами, дока
занными в главах |
1, |
2. Видим, |
что для операторов 91, |
к которым относятся эти теоремы, можем записать |
|||
lim |
(51)я = lim |
(2l)r . |
|
V |
оо |
У->оо |
|
Применив (3.88), |
убеждаемся, |
что |
в исследуемом слу |
чае, когда С = 0, |
имеем |
|
|
{21}я = lim (91)я = |
П т |
(91)г . |
|
|
V -» оо |
V оо |
|
Таким образом, квазисредние и обычные средние рас сматриваемых операторов асимптотически равны соот ветствующим средним, взятым по гамильтониану Т. Члены взаимодействия в Я и здесь оказываются не эффективными.