Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

виям (3.4), то

 

fv (H)— fv {H(C)}^> 0 при V-+oo.

(4.16)

Покажем сейчас, что такое утверждение неверно даже

в простейшем случае

г = 1 ,

когда

 

 

 

H = T + 2VgJJ.

 

 

(4.17)

Для этого рассмотрим оператор

/ вида

 

 

1

1 \Ч

, +

^

 

 

(4.18)

2у

^ (/)

fj

 

 

где

 

 

Р2

 

 

 

 

^o(tf),

 

< А ,

 

Ш - »

%(f) = к (р, а) =

 

р2

 

 

 

 

0,

^

>

Л,

 

~2т

Я,0 (о) =

 

 

к =

const >

(4.19)

 

 

 

О,

 

 

 

А =

const >

0.

Вкачестве оператора Т возьмем в (4.17)

Т= Нй = TQ— 2Vg j},

(4..20)

f

Такой гамильтониан Н0 благодаря (4.18), (4.19), (4.20), очевидно, принадлежит к классу гамильтонианов, рас­ смотренных в предыдущей главе, и удовлетворяет усло­ виям теоремы 3.3.

Пусть при этом значения g, к, 8 выбраны таким

образом, что величина 5 = 5, реализующая абсолютный минимум

min/M{770(5)} = /оо{Я0(5)},

(S)

отлична от нуля. Тогда

/» № (S)} < {//о (0)> =

(Г0),

141

а на основании 3.3

 

Hm fv m = L { H 0(S)}.

 

V->oo

 

Имеем, следовательно,

 

Пт {fv (Г0) — fv (Л) > 0-

(4.21)

1'-> 00

 

С другой стороны, благодаря (4.18), (4.19), (4.20) опе­ раторы Т, Ja в (4.17) удовлетворяют условиям (3.4). По­ этому, если бы утверждение (4.16) было верно для модельной системы (4.17), мы могли бы написать

f v ( T o ) - f v {H(C)}-*0 (И->оо),

(4.22)

поскольку в рассматриваемом случае имеем тожде­

ственно

Н =

Т0.

 

 

 

Найдем теперь С. Имеем

 

 

H (C )= T + 2Vg(CJ + CJ — CC).

 

Как указывалось,

значение

С — С определяется из

уравнений

 

 

 

d f v { / /

( С ) }

d fv {Н (С)}

(4.23)

дС

= 0,

О,

 

дС

 

 

 

 

СУ')н(С)’ С ^)н!СУ

Ясно,* что эти уравнения имеют тривиальное решение

С — С = 0, поскольку ввиду (4.18) справедливы тождества

<-Оя.о. = <-/ >7- = 0. ( Ь Н(0) = (Ьт = 0-

Так как уравнения (4.23) имеют единственное решение, то

С = О, Н (С) = т.

Поэтому

из (4.22) получим

 

 

Пт {fv (Г0) — fv (Т)} = 0

при V

что противоречит (4.21).

 

Итак,

в отличие от случая

отрицательного взаимо­

действия

(3.1), в рассматриваемом случае положитель­

142

ного взаимодействия (4.1) предельное соотношение (4.16) может оказаться неверным даже и при выполнении условий (3.4).

Отсутствие аналога теоремы (3.1), которая служила основой для исследования в предыдущей главе, вообще

говоря, затрудняет

рассмотрение

модельного гамиль­

тониана (4.1) в общем случае.

имеют специальный

Однако

когда операторы Т, /„

вид (3.2),

получаем

даже более простую ситуацию, чем

в предыдущей главе.

 

 

§ 3. Оценки для свободных энергий

 

и корреляционных функций

 

 

Действительно,

пусть операторы Г,

входящие

в (4.1), представляются формулами (3.2). Предположим при этом, что функции

K i f ) = K ( P , о)

удовлетворяют следующим условиям:

a)

Т

(р’ ff) I ^

Qi =

const,

 

р

 

 

(4.24)

b)

| Ка(р,

о) |< Q =

const,

c)Точки разрыва функций %а(р, а) образуют

впространстве Е множество меры нуль.

Заметим, между прочим, что из этих условий вытекает, в частности, неравенство

= const,

(4.25)

р

где в качестве Q2 мы могли бы взять Q2 = Q - Qi- Рассмотрим уравнения (4.9) для определения С и

запишем их в виде (4.10)

_

*.

+

Ca = {Ja)fj(C),

^ а ~ { ^ а) н {СУ

Поскольку тождественно

а)т— (^а)г — 0

143

и Н(0)— Т, мы видим опять, что рассматриваемые уравнения имеют решение

Са — 0, Са О,

причем, на основании ранее доказанного, это решение

является

единственным.

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

_

Н (0 ) = = т.

 

 

 

 

 

 

 

Н ( С ) =

 

 

 

 

Воспользуемся

теперь

неравенствами

 

(4.15); получим

 

 

0 < fv (Я) -

 

fv (Т) < 2 2 g a (JaJa)T,

(4.26)

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

2 2

ga ( Ш н <

fv (Я) -

fv (т).

(4.27)

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскроем

правую часть неравенства (4.26). Имеем

 

 

+

1

 

 

*

+ +

l

j

')т-.

 

(ЛДа)г

4^/

f'

 

(/)

(f ) (

f

Но средняя

f.

 

 

 

 

 

 

 

 

+ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(afa^fa^f'af)T

 

 

 

 

может

быть отлична

 

от

нуля, лишь

если

f' = f или

/' = - / .

 

Далее,

+ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

{afa - fa - faf)T^ 1,

 

 

 

 

 

4-4-

 

 

 

+ 4 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| < 1.

Поэтому

| (afct_fafa4 )T | =

| (afafa_fa_f)r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< V a ) < ^ r > ; i A ( / ) |2< - i Q 2>

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

откуда,

на основании

(4.26),

(4.27),

найдем

 

 

 

0 <

fv (H)— fv (Т) < ~ Q2 £

 

ga,

(4.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Sa^a^a)

^

^

ga-

 

(4.29)

 

 

 

a

 

H

a

 

 

 

 

Таким образом,

члены

взаимодействия

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■*—i §a,Ja^a>

 

 

 

 

144

содержащиеся

в Я асимптотически (К —>оо), не влияют

на свободную

энергию [31, 37]:

 

 

 

fv {H)— fv (T)-> 0 при

V >оо,

 

Далее,

нетрудно заметить, что Я

приводится к

форме

(1.14), (1.15), в которой положено

 

 

Г = Я, Га= Т , Са = О, Q — 0, Ga = - 2 g a.

Благодаря (4.29) выполняется пункт 3 условия

1 § 1

главы

1. Остальные пункты условий 1, V (§ 7 главы 2)

тривиально проверяются, исходя из (4.24).

Мы можем поэтому воспользоваться предельными теоремами глав 1, 2.

Как следует из них, в данной ситуации средние (21)я от операторов 91, к которым относятся эти теоремы, асимптотически равны соответствующим средним (21)г, взятым по гамильтониану Г, так что члены взаимо­ действия в Я и здесь оказываются асимптотически неэффективными [35].

В рассматриваемом случае квазисредние не отли­ чаются от предельных значений обычных средних, поскольку они определяются через гамильтониан

r, = T + 2 V ^ lga(\ + ra) j J a,

имеющий ту же форму, что и Я, только с измененными константами связи ga -> ga (l + та); ввиду этого средние рассматриваемых операторов 21, взятых по гамильто­ ниану Гт, асимптотически равны соответствующим сред­ ним по Т, пока та > — 1.

§ 4. Рассмотрение вспомогательной задачи

Рассмотрим модельный гамильтониан несколько более общего вида, а именно

Я = Г0 + 2 V %

{V /

+ Яо/р} + 2V

2 g j J a (4-30)

1<р<г

1 р

1 1

1 < а < г

 

 

(ёа > 0).

 

6 Н. И. Боголюбов (мл.)

145

Смотрите также файлы