Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

где

f

/e== 2 F ^ X W 'af°-f’

/ p = ^ V ^ I ^ ( / ) a fa-f, (4.31)

К {— f) = — K(f)>

|ip( - f ) = - ^ ( / ) .

причем предполагается, что функции Aa (/), цр(/) удовле­

принимать любые ограниченные значения.

приводится

Ясно,

что

такой гамильтониан

(4.30)

к форме

(4.1),

если в ней положить

Т = Т й + 2 У ^ { и ^ +

и ^ } .

(4.32)

M i

= Q i-

Поэтому

форма

аппроксимирующего

гамильтониана

будет

+

Н (С) = Т0+ 2V 2

UfJ J +

{Uр/&+

С(ХСа}.

(4.33)

Величина

Са определяется

из уравнений

d fv {Н (С)}

d fv {Н (С)}

0.

(4.34)

дСп

о,

*

дСа

имеют единственное решение. Это

решение дает абсо­

лютный максимум функции fv {Н (С)}

в

пространстве

всех точек С.

(4.32)

содержатся

Поскольку теперь в выражении

ч*

гамильтониану Т

члены /р, /р, средние (Ja)T, взятые по

I CaV>I < Qi

( а = 1 , 2 ,

Г).

(4.35)

Положим для сокращения

H{Cv} = Ha

(4.36)

и напишем, на основании (4.15),

о < fv (Н) - fv (На) < 2 2

ga <(/a - CSTO (/ -

f r V)))Ha.

(4.37)

Ввиду того, что

из (4.34) следует, что

Ca) =

(Ja)//a,

С( ( = (/а)яа,

имеем

Фа ~

СГ( ) О а - С 1{ >))„0 =

</„/0>Яв -

(/а)яа ( Ь н а,

и потому

Ф а - С а) 0 а - С ^ ) ) На =

= 47F V]

(f)

(Г)

~

f. Г

4*

— <а?а-г>яа ( я - г аГ>//в}-

(4-38)

Так как

гамильтониан

На из (4.36)

является

квадра­

4-4*

4" +

{afa4 a4 .ar )„a— {afa_f)Ha (a_v ar )Ha =

=

4*

4-

4*

4*

(afaf')Ha (a -fa - f ) Ha — (ага_г )Яа (ач аг )„а. (4.39)

6!

147

Ф а -

СТ) 0 а ~ к

}))На

f

Отсюда,

на

основании (4.36), (4.37),

убеждаемся,

что

О <

fv (Я) -

fv {Я (С^)}

ga.

(4.40)

а

С другой стороны, учитывая (4.31),

(4.33), имеем

Я (С) = Т0- ±

2

{Q (/) afL f + Q(/) a^cif) — 2V У] £аСаСа,

f

а

(4.41)

Q (0 =

-

2 2

ЯрЦр (/) -

2 2

£ас аяа (/),

и потому

fv {Я (С)} =

-

2 2

£ СаСа + ^

2

/=■(/; с, Я),

(4.42)

а

f

где

^(/; С, Я) =

! { _ £ ( / ) _ Г ( / ) -

29 In (1 + е - Е«Щ,

„2

(4.43)

£2(/)==7’I2( / ) + ! а д |2,

Г(/) = - £ - - р .

Повторяя

наши

рассуждения из §

1 главы 3, нетрудно

щим интегралом

ограничена

неравенством

т

Ъ р и > с >^

1

/Ч /; с, u ) d f

< Р г (34)->0,

(2я)3

f

(4.44)

при

П-»оо для

ICo K Q l

] Яр К 54,

причем рк (54)

где

U tf(C )} =

■2 У gaCaCa

(2я): \

F(f; C,U)df.

(4.46)

Из

упомянутых

рассуждений

следует

также,

что

L {H(C)}

является

непрерывной

функцией ...

Са ...

...

л

*

Са ... С/р ... £/р и обладает непрерывными частными

производными всех порядков по этим переменным.

Кроме того, можем убедиться,

что существует точка

С = С, реализующая абсолютный

максимум:

foo{Я (С)} =

шах /те (Я (С)},

(О

причем для нее |Ca [ ^Qi

и удовлетворены

уравнения

з и (н (С)} _ п

[Н (С)}

А

(4.47)

лп

и’

*

и’

дС a

дСа

С = С.

Заметим теперь, что в силу (4.45)

fv {V (&V))} >

fv {я (С)} >

L {Н (С)} -

р„ (Ш),

L {н (С)} >

{Я (С^))} >

fv {Я (С<^>)} -

р„ (ЭЯ),

ввиду чего

1 М Я ( С ^ > } - и Я ( С )} [< р , (ЭЯ).

Приняв е о

внимание (4.40), отсюда получим

I fv (Я) -

U {Я (С)} [ <

- f

Q2 S ga + Рк (Эй)

0

(4.48)

при

V —>оо для |Я р |^9)?.

§ 5. Решение вопроса единственности

Сделаем еще несколько замечаний по поводу

урав­

нений (4.47).

... ,

zr

Возьмем произвольные комплексные числа г ь

и вещественное t. Рассмотрим вторую производную

-fir L Ш (С + tz)} = — 4

a

gJa^a +

1

{ w F ( f \ C

+ tz,U)}df.

(4.49)

+ (2я)3