Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
в котором
+ |
T(f). |
|
y^Tif ) CtfCtf, |
||
f |
2m |
|
( 1. 2) |
||
|
||
\ l ( f ) a ca |
||
2V |
r - r |
|
f
ar a„ _ fc — ферми-амплитуды, m, p и g — положительные постоянные,
f = (p, <*),
где а — спиновый индекс, принимающий значения ± 1/2. Входящая в (1.2) функция
l(f) = X(p, а)
вещественна и непрерывна в сферическом слое
Г_ |
Л |
||
2 |
т |
||
|
|||
(где Л — некоторая положительная постоянная) и равна нулю вне его; кроме того, Я(/) обладает свойством антисимметрии
X ( - f ) = - l ( f ) , - / = ( - / > , - < у).
Отметим, наконец, что в суммировании «по (f)» компо
ненты |
р„ ( а — 1, 2, 3) |
вектора |
р принимают |
значения |
||
2 n n J L , |
а па |
пробегают |
все целые числа ( — |
°о , + оо), |
||
L3= V , |
где |
V — объем |
системы, |
который будет в даль |
||
нейшем устремлен к оо. |
к гамильтониану Н до |
|||||
Для |
введения квазисредних |
|||||
бавляются члены с «источниками пар», например, |
||||||
|
|
|
- v K ( / + |
/), |
|
|
где v — положительная |
постоянная. |
|
||||
Таким образом, |
рассматриваемый гамильтониан будет |
|||||
|
|
r = |
T - 2 V g J J - v V ( J + J). |
(1.3) |
||
Квазисредние для гамильтониана Н вводятся как пре делы обычных средних для гамильтониана Г при V -> оо с последующим предельным переходом:
{...}я = Пт Нт ( . . . ) г.
v-»0 У-»°о v>0
30
В наших работах [15, 41]*) было показано, что кор реляционные средние простейшего бинарного типа
(af(t)af (т))г, <а,(/)а_,(т))г, (a_f (t) af (т))г
асимптотически (V —>■оо) близки к соответствующим сред ним, взятым для «аппроксимирующего гамильтониана»**)
Га {С) = Т — 2Vg (С/ + CJ - СС) - vV {] + /) =
= T - 2 V g { ( c + - £ ) j + ( c + - £ ) j } + 2 V g 6 c .
Входящая сюда величина С определена из условия абсолютного минимума свободной энергии
f (Га (С)} = min
во всей комплексной плоскости С.
Поскольку Га(С) является квадратичной формой по отношению к ферми-амплитудам, то этот гамильтониан
диагонализуется |
посредством |
|
и — ^-преобразования: |
||||||||
|
|
|
af = ufaf — vfa__f, |
|
(1.4) |
||||||
где а/, |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u.f, v t = |
— новые ферми-амплитуды, и {u(f) = |
|||||||||||
= »(/)) |
|
|
|
|
|
|
________ |
|
|
||
|
|
« ( f ) - T ^ / i |
~ |
+ |
r(0 |
|
|
||||
|
|
|
V 2 |
Г |
|
' |
E( f ) |
|
|
||
|
v(f) = |
|
|
|
|
|
|
|
T(f) |
’ |
|
|
f 2 a ( / ) ( c + - ^ |
|
E(f) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r 2(f) + |
4A2(f) |
|
C + |
2g |
|
|||
*) Можно |
отметить, что |
эта |
методика оказалась |
полезной и |
|||||||
при Изучении |
точно |
решаемых |
квазиспиновых |
моделей [44, 45; |
|||||||
62-66]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
**) Существует также и другой подход: сразу иметь дело с бес конечным объемом и исследовать соответствующие модельные си стемы. Математические аспекты такого подхода в связи с изуче нием равновесных свойств изучались в работах Д. Кастлера [60], а также в работах Хаага, Гугенгольца и Виннинка [61] с помощью методики С *-алгебры. В работах Д. Я. Петрины в пространстве
трансляционно инвариантных функций изучалась модель БК.Ш [56].
31
В новых ферми-амплитудах гамильтониан Га(С) при мет вид
Га (Q = J2 g c c - -±- У {Е ( / ) - |
Щ } } V + Y e (/) afaf, (1.5) |
f |
f |
так что свободная энергия на единицу объема, вычи сленная на основе этого гамильтониана, будет
f {Га (С)} = 2gCC - ± г У {Е (/) - Т (/)} -
V |
I n (1 + e - £ <f>/e). |
( 1 . 6 ) |
|
|
Отсюда видно, что рассматриваемый абсолютный ми нимум функции /{Га(С)} комплексной переменной С реализуется при вещественном значении С и притом таком, что
c + i > ° -
Это |
минимизирующее значение |
С зависит, вообще, |
|||||
от V и v: |
|
C = C(V, V). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
В упомянутых |
работах [7, 41] было |
показано, |
что |
||||
|
|
C(V, v)-*C(v), |
V —> с»; |
|
(1.7) |
||
|
|
C(v)-»C(0), |
v->0 |
(v > |
0). |
|
|
Здесь |
С = |
С (v) |
реализует |
абсолютный |
минимум |
пре |
|
дельного выражения |
|
|
|
|
|||
U r« (C )} = |
Пт !{Га(С)} = |
|
|
|
|
||
|
|
V -> оо |
|
|
|
|
|
|
= 2gCC |
2 (2„). j |
m e m - T f f l } - |
|
|||
|
|
|
|
||||
Как и везде, в настоящей работе, «интеграл по /» обо значает интегрирование по р и суммирование по а:
J = ^ j dp
32
Значение С(0 ) > 0 выбирается как число, дающее абсо лютный минимум функции:
L {Н . (С» = |
2еС! - |
Jj-L j / dt {е (!) - т(/)) - |
в которой |
|
“ W J « /I n d + e - ^ n » ) , |
|
|
|
|
E ( f ) = V T 2( f ) + 4 g 2C2X2(f). |
|
В нашей |
работе, |
как уже отмечалось, мы доказали, |
что разности бинарных средних, построенных на основе модельного Г и аппроксимирующего Га гамильтонианов,
стремятся |
к |
нулю |
при |
V — оо для |
любого |
фикси |
|||
рованного |
значения |
v > |
0. |
|
|
|
|
||
|
С другой стороны, вычисление этих средних для Га |
||||||||
совершается |
элементарно, |
согласно (1.4) |
и (1.5). |
Имеем, |
|||||
например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,-Е(№ |
|
|
|
(af (t) af (т))г |
= и2(/) eiE |
(t~x) 1 + е~Е «Я/0 + |
|
|
|||||
|
|
|
|
v2 (f) е~iE ^ ^~х^ — |
|
-Е(f)/0 , |
( 1.8) |
||
+ |
+ |
|
|
|
|
+ е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
{af (t) ач {х))г
,- е ш/е
=u (f)v (f)\eiEif)it- X)-l + e - E m — e-iE (f) (t-г). 1+e-£(f)/e j'
|
|
|
|
(1.9) |
Как |
видно, |
правые части здесь определены для всех р, |
||
а не только для квазидискретных значений: |
||||
|
|
___j 2яп1 |
2яп2 |
2лп3 \ |
|
|
Р ~ \ Т ~ ' |
~ Т ~ ’ |
~Т~)' |
для |
|
|
|
+ |
которых только и определены амплитуды af, af и |
||||
тем самым |
и левые части |
выражений (1.9). |
||
сят |
К тому же правые части (1.9) как функции (f) зави |
|||
от V лишь через посредство величины C = C(V, v). |
||||
|
Поэтому рассматриваемый предельный переход V->oo |
|||
благодаря |
(1.7) |
сводится лишь к замене в этих |
функ |
|
циях C{V, |
v) на |
С (v). Последующий предельный |
пере |
|
ход |
v -»0 |
(v > 0) соответствует замене С (v) на |
С (0). |
|
2 Н. Н. Боголюбов (мл.) |
33 |