Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

94 -

моморфизм. Поэтому

зс£ Al (KW*)

,

и

следовательно

ш ^ т ю

*

A(KV°

‘ H

,

-

y(L ' V

•

, Пусть

П < « -Л > - разложение ч

в прямое произведение

цикли-

ХеЯ

ческих

групп порядка

f>

и

w =» с ц ^ а !^ ...

t

.

Тогда в

силу

тождества

tc tr-l

+ (tr-l)

w - l

(mx>cLA (KW f))

и

a t e

A(KV£)

по модулю

АЧКУЛ^)

является ли­

нейной комбинацией

элементов с ц - i ( i e M )

.

По теореме

62

4

m

) -

i

, а

это

влечет

в

силу леммы 56

линейную независимость

элементов

а .г-1(Ъ еМ )

по модулю

А Ч к ч . ) .

Следовательно,

d i m F L*/L^

-

A( f CWi V

(

Ky t ) =

.

Идеал

!/(Lj.)

является

инвариантом

г р .к .,

так

как

порождается

инвариантным подмножеством

Х£ = ^ ^ K G * ’ 1

.Действительно,

если

х

£ S O * )

,

то

х

%

* ( « * - О

,

где

"iiit n C

V ) .

^ t C

P

И

u-i €.(_,£

. Если

x * S X

^ e ^ ( u j - i ) ,

то

^ [ - о

и

Если же

( » ^ K U

l 5 K «

n

(

e

^ )

)

,

то

по

сокращенной

формуле

бинома

Ньютона

у [ е К

и

+

f

,.Р

Отсюда

«о

, ибо

иначе

для

некоторой

|>

h

/

^

Л- = 9*

и

>

а

910 противоречит тому, что

и

представители различных смежных классов группы

G p

по

подгруппе

Ljr

.Поэтому

i^eA O iJL *)

и

^ е У ( и ) .

По предположению

Kf=K

и К£т = КН

. На основании

сокращен­

ной

формулы

бинома

Ньютона

и

по индукции легко

проверить,

доказывает инвариантность

oUm.p Ц /l **!

•

Так как по предложению 6

\i(Gt) состоит из всех

нильпотентных

элементов г р .а .

KG , то

1/(в^) *

и

ICC/Gf>S K% (G J “

к % (и г) ~ К

\ .

2)

Совокупность всех

алгебраических

элементов Cb>(KG)

есть

инвариант г р .а .

и является

подалгеброй.

Ввиду этого достаточно до­

казать,

что & (К & )« KG.

. По теореме 9

г р .а .

KG

не имеет

нену­

a ( K G ) s K G .

. Обратное включение очевидно.

.Так

как

идеал

г р .а .

&G

,

порожденный A(KGd) ,

совпадает о

ж . )

, то в силу равенства

Я б .-Я Н .

идеалы

Ж . )

и tfO O

равны. Поэтому

К е/й , *

* КМ/У(Н.) *

К Н /но

•

Откуда на

основании теоремы

46

С/е.- V(KV) *V(K%.) • "/#..

■

Ввиду теоремы Ульма из теоремы 76 получаем следующее следствие,

которое было доказано ранее для

с р .а .

конечных абелевых групп Дже­

ннингсом

и Дескинсоы.

СЛЕДСТВИЕ. (СЛ.Берман-) Пусть.KG

- гр .а . счетно абелевой

f>- группы G над

полем характеристики

f>

. Тогда все

базисные под­

группы г р .а .

К б

изоморфны.

ЛЕША 79.

Пусть

KG

-

полупростая

коммутативная

г р .а .

над ал­

гебраически замкнутым

полем К

и

G.

-

периодическая

часть

группы

G . Тогда

V(KG„)

_ полная

группа

и в

V( UG)

существует

такая

подгруппа

Gi =

,

что

G„* Gt

базисная подгруппа г р . а .

KG .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Если

i f

V(KG .)

,

то

^.(Suppac.^

конечная

абелева группа и в силу алгебраической

замкнутости

поля К

имеет

место ортогональное разложение:

* > » е,Ю © ...©

е*В

. Следом

вательно,

из

каждого

обратимого

элемента г р .а .

K <S«p|»*>

йожно

извлечь корень, что доказывает полноту

группы

У (К *ч) .

Исходя

из

G ,

, определим G,£.4

как подгруппу,

порожденную

G*

и

l*^t £ G \ Gj<

,

а

если

JE.

предельное

порядковое

число, то

Gj-

. Для

каждого

порядкового

числа £

построим

обратимый

элемент

X j- e K G ^

оо

следующими свойствами:

х А (££eV (K G.) , под­

группа

l t £+i ,

порожденная

,

без кручения

и

GeKllx » i

-

базисная

подгруппа

г р .а .

fCG^.j

. При выполнении

условия

<$*> П

H G j.» /

полагаем

х £ -

.Очевидно,

что

обладает

этим

свойством. Предположим, что найдены

и укажем способ по­

строения

,

В силу изложенного можем

считать,

что

существует

на­

именьшее

к

,

для

которого

e G

и

-A c

6 )

. Тогда

по

построению

х ^

...

(»^eV(KG.))

и в оилу полноты существует

такой

x.tV(KG*) .

что

.

Если

,

то

и подгруппа

1

-

без

кручения.

Тогда

из

построения

И х .*

следует,

что она линейно неза­

висима,

G

и

по теореме

78

G£^

• ■

IiE:.UA 8 0 .

Пусть

JC&

полупростая

коммутативная

г р .а .

периоди­

ческой

группы над

алгебраически

замкнутым полем

К

.

Тогда

существу­

ет

базисная

подгруппа

г р .а .

KG

,

разложимая

в

прямое

произведение

цикличе ских

групп.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

-

циклическая

подгруппа группы

Ст

и

определим

как

подгруппу

порожденную

для предельного порядкового числа Л

-

=

.

Предположим,

что

для

всех

порядковых чисел Л<Ъ

г р .а .

обладает

базионой

подгруппой

,

разложимой в

прямое

произведение

циклических групп

97 -

к для

£

4. f l < r

. Тогда для предельного порядкового числа

Нх я

»

а

не

предельного

порядкового

числа — Н*

постро­

им так:

если

и *

[ G ^ G ^ ]

,

то

« ^ c G i . j

и в

СИЛУ полноты группы ■

V(KGr.j)

в

ней

существует

такой

элемент

х

,

что

х а-

Подгруппа

является

базисной подгруппой г р .а .

KG*

и ее можно выбрать за

Ц *

. ■

ТЕОРЕМА 6 1 .

(Берман,

Мэй И

)

Пусть характеристика алгебраи­

чески

замкнутого

поля

К

не делит порядок ни одного элемента абеле­

вой

группы

G .

Тогда мощность JG J

периода ческой

части

группы

G

и фактор-группа

&/&,

являются

полными инвариантами г р .а .

К б

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 78 16.1

и

С /с9

-

инвариан­

ты г р .а .

KG .

Покажем,

что они однозначно, с

точностью

до изомор­

физма

определяют

г р .а .

KG

, причем в

силу леммы 79

это

достаточ­

но проверить, когда G

периодическая

группа.

Пусть

G

-

счетная

периодическая

абелева

группа

и Gt e: Gk«= G,<=-

«О

такая возрастающая цепочка ее конечных подгрупп,

что

G » U tG i

,

По­

строим

"дерево идемпотентов"

г р .а .

KG .

Пусть

f « e t+ej,

-

разложение в

сумму ненулевых

ортогональных

идемпотентов

г р .а . KG£

.

Если

не

минимальный идемпотент г р .а .

iKGt

,

то

ej,

разложим

в сумму ненулевых ортогональных идемпотен­

тов

e it

и

fci.*,

г р .а .

Кб»

,

а в

случае минимальности

е*.

,

отро­

им такое

же разложение

ер

в

г р .а ,

KGj.

. Далее, снова

отроим

та­

кое

же разложение

и процесс

продолжаем до бесконечности.

Тог­

да идемпотент

,

полученный на

п -ом

шаге,

однозначно

характеризуется

вектором

t m)

,

а

при

фиксированном

т

множество

таких

векторов

конечно и

i - 2 2

-

разложение

в

•u*М,

сумму попарно ортогональныз идемпотентов.

Согласно построения "дерева идемпотентов" каждый идемпотент

гр .а . KGt

ему

принадлежит

и этими-мдемпотентами

исчерпываются

все

идемпотенты

г р .а .

К б

,

в

силу

конечности

подгруппы

носителя

каж­

дого

идемпотента.