Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

fn.)

•

Действительно,

в силу

неравенства

IMjrtUn,!

( { > 1

)

I U SuppXiH У &upf>lii }^ (n !-i)n ! < (п--)г

.Кроме

этого,

ввиду

предположения

€

А к дня всех

€. %

■

имеем,

что

59 0 ) = О .

Поэтому в

силу

неравенства

[G -:T J> k !

,

по лемме 15

заключаем,

что

0 = fl“-

( flu , - - ,

О.*)

•

Утверждение

доказано.

S„~x.n

Если

,

то

и

Тогда

=

+ 0

и

согласно

доказанному

утверждению

для всех

р

б

.

Следо­

вательно,

/ \ к =

(т

,

а

это

невозможно,

ц

ЛШМА 23.

Пусть

Ц'

-

простое

число и

(«f"> с £ с п .К )= ^

,

Если

коммутант

£ '

группы

G-

является

циклической

^

-подгруппой и при­

надлежит

центру

^ (G )

группы

G? ,

то

[ С ^ ( С ) ] й ( ь ) 1.

и £ - полино­

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

F

-

расширение

поля

К

миальное

тождество в

Кб

, то

J

является

тождеством в

FG .

Поэтому,

в

дальнейшем мы можем считать, что

К

- алгебраически ' за­

мкнуто

и

iGl £

iKt .

Как известно,

радикал Джекобсона

^ ( К б )

кольца

fCG

есть

пе­

ресечение

аннудяторов

воех

неприводимых

КСг -модулей. Очевидно,

что

^(K G) D K G 's

^(K G ')

и по теореме

19

^(Ю 5‘)= 0 , Поэтому в

неко­

тором неприводимом

Кб -модуле

V

реализуется

точное представление

группы

G

. Докажем,

что

D * H o m ^ g fV .V )

совпадает

с

К .

Действительно, в силу алгебраичеокой замкнутости поля К

достаточно

проверить

алгебраичность

каждого

элемента

из

над

К .

Пусть

Й Ь К

И

ЖеК •

Тогда

элементы

попарно: пере­

становочны

и мощность

этого

подмножества равна

/К/

,

что

больше

с/спг-Ф в

силу предположения

I&I < /К]

.

Следовательно,

они линей-

но зависимы

и

+

+ o(s ( ^ - 4 s )

(<£i«*o)

. Умножая

это

равенство

на

f J ( ^ - £ L)

,

получим, что

^

является

корнем

нетривиаль­

ного полинома

над

К .

KG

, реализованное в

V .

Пусть

§

- представление

г р .а .

Тогда

$(KG)

является

плотным

подкольцом

кольца линейных

преобразо­

ваний векторного пространства

V

над К

и

ciimjj,V=£ 4 -^ -

. Дей-

-

27 -

ствительно,

в

случае

Ь>*£-

, по теореме плотности, для некоторого

кольцо матриц

является

гомоморфным образом некоторой

подалгебры алгебры

j(K ft)

Тогда

Кт

удовлетворяет

полиномиально­

му тождеству

степени

п.

,

а

это

возможно,

как мы указали,

когда

• Следовательно,

4 ^ .

и по теореме

плотности

y(JCC) *

»

G матрица

Для элемента

зь

из

центра

3 (C )

группы

§(й.)

яв­

ляется

скалярной а ^ Е

и в

силу

точности представления §

на

под­

группе

G

центра <*А=М

для

всех i+A е<х

. Докажем,

что

след» х ( * >

матрицы

$ (ф

равен нулю для всех

« ^ £ ^ ( 0 ) . Действительно,

если

*0

(А *£'•)

и в

силу

совпадения

следов

подоб­

ных матриц

X ( j ) =OC(ft ^ ) *

ЭС(«* ? (£ .))=

a t

X

(

f )

. Так

как

то

Х($) = 0

для 9 £*}(6 ) . Если

A e ^ G - )

,

то

X (fL )*aAt *

о

,

ибо

в противном

случае

t

есть

нудь в

К

и след

каждой матрицы из

$(KG) = Kt

равен

нулю,

что

невозможно.

Пусть

и

(X ft-K ). Тогда, умножая на

^ ( « ^ )

,

получим,

что

=0

(I)

Однако

при

f r 9 i £ 3 ( e )

и

. Переходя к

следам в

равенстве ( I ) , получаем, что

«£•£ = ©

,

что

возможно лишь в

случае,

когда

,^«=0

. Следовательно,

§ ( « ^ )

-

линейно

независимы и

[G *3(G )J<

4 d im K Kt ^ С ^ ( т Т .

■

ЛШМА 24. Если

G

имеет

порядок

к

и

принадлежит центру

3 (G )

группы

G ,

то

G

обладает

такой

характеристической

подгруппой

А

что

№ :А ] 4 (■§“)

и коммутант

А

подгруппы А

конечная

р

-груп­

па,

где

р=с&ах.К .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В конечной абелевой группе

G'

порядка

к

су­

ществует такие

подгруппы

( tt % ) ,

что %

-

примар-

ная

циклическая

группа и

Q N ; «

4

. В силу

центральности

G

под-

G

V

^

группа

нориальна в

и

г р .а . фактор-группы 6^=

fi/N ,

.

как го -

моыорфвый образ

г р .а .

/С<?

,

удовлетворяет

полиномиальному

тождеству

степени

it .

- 28

-

&i

Пусть

-

полный прообраз в

С

центра

группы

и

(к,<^с\,К )«1

.

Тогда г р .а .

KGt

удовлетворяет

уоловию леммы 23

и -

f e = 3 3 < ( » s . Поэтому, если

А —П 3

1 »

10

[& '•& ]*(% ) 4 ( % )

и

.

Действительно,

А

и из включения

следует

((r,A )?=

Q N i * * !

.

Следовательно,

-

характерис­

тическая

подгруппа.

Пусть

(к ,Л а я .К )-р > 0

и

Р

-

силовская

f> -подгруппа

группы

G

. Тогда

Р 4

G

и порядок

фактор-группы G/р

взаимно

прост

с ха­

рактеристикой

поля

К

■В

силу

доказанной

части леммы в

G/n

оуще-

а

ствует такая характеристическая подгруппа -А/p

р

что

и

Ы :А ] ** ( f )*

S3

ТЕОРЕМА 25.

Г р .а .

KG

над

полем

К

характеристики

J>*0

то­

гда и только тогда удовлетворяет полиномиальному тождеству, если

группа

О

обладает такой

нормальной подгруппой' А

конечного индек­

са, коммутант которой есть конечная

j> «группа (при

р шО

группа А

абелева).

KG

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

удовлетворяет

полиномиальному

тож­

деству

степени

п

я

Ка(л 0

. Тогда в оилу лемМы 22

G - & KU

U A .* U ...U M m

’ где m±(K*i)I .

^

А« *

Методом индукции

по

m

докажем,

что

А к

-

произведение

на

себя

А"*

раз

«

является

подгруппой. При ю =1

это

очевидно.

Предположим,

что

m.> I

,

а

й »

не

есть подгруппа.

Тогда

& Ф 4 *

и существует

такой

L

,

что

А * П А кс^, f

ф

.

Отсюда

^

и A j U

A

^ t e

А'к

. Следовательно,

£1 =

и . . . и А к § и и А м ^ ы и . - - и Д к

4

и

fC =

J

< го.

. П о

индуктивному

предположению

Н = ( А , < ) -

А*

являетоя

нормальной подгруппой.

Очевидно,

что

[ б » Ш < ( * +0 /

и каждый элемент из

Н

имеет

не

более

А” к

сопряженных в

G

,

так как является

произведением

ее

более

чем

А "

элементов

из

А к

, Соглаоно

теореме

17

коммутант

-

29 -

Я

группы Я

конечен, а

значит,

Ht= С у (Н‘)

-

подгруппа

конечно­

го индекса в И

я нормальна в

G

. Тогда г р .а .

КН,

удовлетворя­

ет условию леммы 24

и

подгруппа А

.построенная

в

этой лемме, яв­

ляется нормальной подгруппой конечного индекса в

G и удовлетворяет

условию теоремы.

Обратно, пусть

(? = <?/д1

и

•

Тогда

КС

является

правым

К ? -модулем с базисом

Д ' . ^ А

^

А '

,

в котором левое регулярное представление

г р .а .

K G

является точным»

Поэтому

KG

можем

считать

подкольцом кольца матриц

t -го

порядка

над

коммутативным кольцом

К *

и

по теореме

Амицура-Левицкого

(см .

замечание 2 на стр.

)

в

нем выполняется

стандартное

полилинейное

тождество

,

х %1)

.

Так как К f t -

^^/У (А ')

, то для всех

&,<£»,•••><£»* tK G

элемент

, l ti) s. ii(A ')

. Тогда,в силу

нильпотентности

идеала

(см .

предложение 6 ), существует такой

т

,

что

Для воех

&KG . Цяедова-

тельно,

у 1

- полилинейное

тождество в

КС

§6.

ПОДГРУППА НОСИТЕЛЯ ИДЕМПОТЕНТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подгруппа,

порожденная S u p p x

называется

подгруп­

пой

носителя

элемента

ас

и

обозначается

через

< 5 u p j » o c > .

В настоящем параграфе изучено строение подгруппы носителя идем»

потента. Эти исследования начаты Рудином и Шнайдером

[I]

. Им принад­

лежит предположение о конечности подгруппы носителя центрального

идемпотента.

Методами банаховых алгебр они установили справедливость гипотезы

для групповых алгебр над полем комплексных чисел. Приведенные ниже

результаты принадлежат Бовди и Миховскому

[3] .

Однако,

теорема

27

доказана .также Бернсом

[l]

и Пассманом .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент а.

г р .а . К (г

называется алгебраическим,

если

существует

такой

полином

J ( x )= <£

+ ... •*■<£«-

над К

,

что

^ ( а ) * 0

и

«£.

не является делителем

нуля в

К .

ТЕОРЕМА 26. Для каждого

центрального алгебраического элемента о,

г р .а .

JOG

существует

такой

центральный алгебраический

элемент

сц

,

что

а - а *

,

принадлежат

первичному

радикалу

г р .к .

К б

и под-