Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Предположим,

что до момента

I

закончился,

по крайней мере,

один цикл,

Л гд а

вероятность

этого

события равна

P { T „ < i } = Р { ( т Л т * ) < в = W C O ,

(2 .1 5 )

где Тп - Тл' +

Та'

-

продолжительность,

л гго цикла,

W ( t ) -функция

распределения случайной величины

Тл .

Представим функцию распреде­

ления продолжительности цикла в виде свертки функций распределений

F(t)

и V (t)

(2 .1 6 )

Дифференцируя функцию W ( t )

по

t

,

получим плотность распределения

вероятностей ?& (t)

случайной величины

Тп

t

v s ( t ) = W '0 0 = l V ( t - ? ) / ( ? ) с / г f

(2 .1 7 )

О

где j О)

и v ( t )

-плотности вероятностей случайных

величин Тп и Тп’

Допустим, что

все

случайные

величины Т, , Тг

Т п имеют одну,

и ту же функцию распределения

W ( 0

со средним значением f-M{Tn) и

дисперсией &-£>(Тя), Тогда

эти числовые характеристики выразятся

через характеристики случайных величин

Та

и Тп

следующим образом

Т = М ( т ' + Т п ) = т \ т " ,

(2 .1 8 )

S)^SO(Tn+Tn) = «£>'+ so”.

(2 .1 9 )

5 .

Математическое

ожидание числа циклов.

Зная функцию распре­

деления W СО и плотность вероятности

u K t ) одинаково распределен­

ных случайных величин

Т{ ,

найдем математическое

ожидание числа

циклов Л i t )

на промежутке

времени

(

О , t

)

Я СО = М [ 2(0]

=]Р лРпСО,

(2.20)

л - 1

где

2 ( 0

означает

число циклов,

происшедших на промежутке времени

( о

, t

) ,

/)t (7 )

- вероятность

завершения точно

п. циклов.

Учитывая равносильность

с о

б

ы т

и й и

[ t n < t }

,

найдем

распределение

случайной величины

/ £ ( 0 .

Р { * К О * л } = p [ t a н } = W n ( i ) .

'

(2 .2 1 )

Здесь

2

,

tc - О -

моменты включений

элементов,

a

Wa (t) -

функции распределения

t ^

,

определяемые как кратные свертки функ­

ции

W i t )

^

|

R i ( 0 = j W n . t ( ^ - ^ ) o ( W ( r ) f

щ -t) = W U ) . (2 .2 2 )

0

Исходя из формулы

( 2 .2 1 ), в результате

преобразований

определим

вероятность

завершения

п

циклов

= р {

=

гг} = р(*гСО

-р {1 Ь )* п + * }= М я11)-Ым № 2 .2 3 )

Подставляя

в выражение

(2 .2 0 )

значение

р п ( t)

из ( 2 .2 3 ),

получим

СЮ

СО

о°

ОО

н -1

- Т Ф ^ ( * Щ л ф Ж л К л(*)-2(*0ЬГлм (2 .2 4 )

П-\

п -I

п ч

откуда

СЮ

Я С О = И 2 W n ( i ) .

(2 .2 5 )

п--1

Преобразуем выражение ( 2 .2 5 ) ,

принимая во внимание форцулу

( 2 .2 2 ) .

Тогда подучим

t

СЮ

QO

j*

Л Ц = М [ » ( ф £ W „ ( t ) - I 2 j W h _ , ( i - T ) d W ( t r ) =

Дт/

л = /

о

i

t

( (< - г ) d w ( ? ) =

+

или

*

= W ( t ) + j f i ( t - ? ) d u / ( T ) .

(2 .2 6 )

О

„чктпьая несовместимость

и

I

событий £ t n < ( < ( „ , , } и определение

пункции готовности Г ( О

, получим

о©

Г(0

=

JTaCO •

(2.31)

а = 0

Подставляя

в

выражение (2 .3 1 )

вместо jfn ( О ее значение

из

(2 .3 0 ),

найдем

^

!

Г ( о - ] Т Г п С < ) = £ ] р (‘ -

=■

Л=0

П=0

о

t

= i-FCO + J [ i - F ( t - r ) ]

г(г)^г: .

(2.32)

(7

Вычислим стационарное значение функции готовности

К г

в ре­

жиме длительной работы элемента,

когда

t

—— »

Л" =

А’ О ; .

(2 .3 3 )

jf -Н-ОО

Для нахождения предела воспользуемся (|юрмулой Смита [35]

в

следующем

виде

t

°°

.

йт \ [ 1 - Р ^ - г ) } г Ю < 1 г

(2.34)

i —

0 0

о

о

Подставляя

в

выражение (2 .34)

значение

Т

из ( 2 .1 8 ) . получим

&/n

/ f i - P C t - T ) ] a ( ? ) ^

=

+ Т

0

(2 *35)

t -

д

т

Принимая во

внимание выражения (2 .33)

и ( 2 . 3 5 ) , находим стационарное

значение

Г {

t)

ОО

К = О т Г ( 0 = - г Д - г г f f l - f t s ) ]

г

r ' +

Т 0