Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл (5,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

zx+n = 2

(H-n)*

(4.1.13)

in*z

•

*=o

Имеем

. .

du.

zД+в—l

(4.1.14)

J u

”

X+ n

( 0)

Учитывая (13), функцию (14) представим в виде

X-j-n—1

Ink+1z

(Х+л)*

. (4.1.15)

й >

X+n

z(X+n)

i + 1

Следовательно,

(X+n) k

■ fj ^ +n^

= 5(fc)-+

' f l j

lk \

(0)

*=°

\ ( 0)

(4.1.16)

Здесь

а к пока

что

неопределенные

аддитивные

слагаемые

интеграла от функции

-i-ln*2 , В силу3(16)

. 71—1

Г du

2к

dtf

J _

~ й

и к'гЛ =

(Х+1)п

Х+л I

(0)

I;'_

(4.1.17)

у р

п—1 / и

(Х+п)*

1 С du

f l n

ftT

* J

( J

dT -

k—o\

(0)

\о

Последний ряд представляет разложение функции z l /(I+ + 1)„ в ряд Лорана в окрестности точки к = —п. Используя

(17) и ряд Г(Я+ л + 1)= J с* гДе с* = Г* (1)’ *=о

разложим в окрестности точки К = — п в ряд Лорана функ цию

3 Здесь и ниже применяется обозначение (о )„ = а (а+1).... (а + я —1).

Г(А + 1 )2Х— Г(Х +			п +	1)	(А+1)п =		(п -1 )!(Х+п)гп +
	ck+i(		2	\ п—1
	ck+i(	1	du				(Х+п)*
	k+ 1	-±-JГ*Ч			._ L
*=о	k+ 1	2	(0)	U		U	А!
*=о

			2				](Х+в)к
							](Х+в)к
							\|	А!
							(4.1.18)
(—1 )П—1				_1_ Г du_ \			п—1
(—1 )П—1				_1_ Г du_ \			_1_ ь * + 1
( в-1 )!(Х + л)2п			А = 0	г )		и I	‘ и А+ 1 +
			А = 0		( 0 )	/
					( 0 )	/
							(Х+л)д
+						а "	А!
771 —“ 0
Для того	чтобы	обобщить			правило последовательного
деления на t	оригинала In kt и учесть соответствие (5),							необ

ходимо, чтобы А-й член последнего ряда представлял л-крат-

1	г d п	ь
ный интеграл вида	J 1 Г )	2 (т ) Ск~т1п7”“

Для этого необходимо положить

тп= 0

2 ( * ) с * - т аго = - ! Ш ., А = 0 , 1 , 2 , . . .	(4.1 .19)
m—0

Таким образом, за регуляризованное значение интеграла

А2

J lnmn	du	0, 1 , 2 , . .	(4.1.20)
J lnmn	m =	0, 1 , 2 , . .	(4.1.20)
( 0)
следует принять первообразную		Inm+1z .
следует принять первообразную		— (- am,

где постоянные интегрирования ат определяются из рекуррентных соотношений (19).

Теперь разложение (18) можно переписать в виде:

Г(л + 1 )гх	( - 1) П—1
	( в - 1 ) ! ( Х + п ) г п

(4.1.21)

(1 +в)*

М •

Следовательно, в силу соответствий (3), (5), (10) и правила (1 ) заключаем, что разложению (2 1 ) в пространстве о. о. отвечает разложение функции {tx} в ряд Лорана:

			00
' >	(—I) " - 1	4-	(l+n)k (4.1.22)
' >	( п - 1 ) \ ( к + п )	4-	ы
			А = 0

Получена известная формула из теории обобщенных функ ций [31]. Таким образом, показано, что пространство о. о. содержит функции вида {£~nln*f}. Их изображения могут быть определены из разложения (21). С этой целью разло жим в окрестности точки к = — п в ряд Лорана функцию.

№		+	=г п( Х + 1 ) л й=0Мг><х+<
где
		и	_ V	ck-m 1втг			(4.1.23)
		bk{z)	2 d (k-m)\ т\ '				(4.1.23)
			т=0		’
Далее,	так как
	1		( - 1)П—1		2	(в) ( 1 + в ) *
где	(1+ 1 )»	(\|»-1)!(М-я) +1			2		(я—1)1
где			П—1
			П—1		( - 1 )"-		(4.1.24)
		-	« - 1 \		( - 1 )"-		(4.1.24)
		-	2		,ft+i
то			771=1
то
Г(Л +	1)гх	( - 1)71—1		( & ( b - 1 ) I			2 ai - r br(2) +
	*" l	(n —1)! (Х + я )		( & ( b - 1 ) I			T = 0
				A = O '			T = 0
							(4.1.25)

Q±n)k

-1- ( - l ) » - i b * + i	k\

Сравнивая разложение				(21), (22),	(25),	получаем (k = 0, 1,
2 , . .. ;	п — 1 , 2 ,...)
fin**]	,,v .	kl	Г *	< А Л ( 2) + ( - 1 ) " - 1 W			* )	—-^n, j(?)l
fin**]	,,v .	kl
{ tn j 71 (f) ■ zn (n—1)! 2
			_r=0
								(4.1.26)
где a(k \ br (z)		вычисляются соответственно					по	формулам
(23), (24).
В частности, при k = 0, используя равенство
		(—l )'”- 1		1 + “£“ + • • •+		= '^ (Л)+ С
			771	1 + “£“ + • • •+		= '^ (Л)+ С
			771
(С — постоянная Эйлера), получим					соответствие
{~f	}т.(0 -	([z % 2l ^		(д) + 1пг3»	л =	1,2, . . .		(4.1.27)

Наконец, методом математической индукции может быть

доказано, что введенная регуляризация интегралов				вида
(12) и (20) корректна [13].
Следствие. Справедливо равенство
1^	k =	0, 1 , 2 ,.	(4.1.28)
*	k =	0, 1 , 2 ,.	(4.1.28)
*
Замечания. 1 . Коэффициенты ат,		вычисленные по		(19),

связаны с коэффициентами Qm, введенными в [173], равен ством

т а т _! = ( 1)т —1Qm.

(4.1.29)

2. В связи с операционным соотношением (27) интересно отметить следующее: согласно (3.3.12), имеем

( - 1 ) ”	ф(7»+ 1)+ 1п2	(4.1.30)
nl	zn+1	(4.1.30)

где несобственный интеграл от о. о. понимается в ранее ука занном обобщенном смысле.

оо

Поскольку Г(А)= |'e ^ t ^ d t , R e^>0, то, полагая в (30)

2 = 1, П О Л У ЧИ М

00
Г (— re) = fer* {t~n~1} dt = (-7 f - ф (re + 1),	re = 0,1, 2 ,. . .
0	(4.1.31)

Это значение Г-функции в точках Х = —ге совпадает со зна чением, полученным в работе [218] с помощью так назы ваемой На-регуляризации, представляющей собой обобще

ние метода Адамара.

Этот факт указывает на то, что введенное выше опреде ление обобщенных несобственных интегралов достаточно общо и охватывает различные способы суммирования рас ходящихся интегралов. Отметим, в частности, что рассмат риваемый здесь метод позволяет пойти дальше результатов

работы [218]	и получить	регуляризированные значения
производных Г-функции в точках Х = —ге.
Так, учитывая (26), получим
Ги>( — п) = I е~		dt =	к\	2

	0			r= 0
					(4.1.32)
		, к+1
	( _ 1) П Г (й+1)(1 )		a U +l) Г (г,(1 )
		г 2
+	(* + 1)!		к Г		г! '
		г=О