Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

In 1'г )

( - p n k !b (ra~ 2)(t)

 

in-l] “Г

(n—I)! (n—l)k+1

 

 

 

t

Согласно (1.22), имеем J

{xx}dx

f 8("-1)(T)dr +

 

 

( В - 1

Ж Х + Л )

 

 

 

6

dt

(b+n)k

 

 

+2k = 0

kl

 

 

Сравнивая эти разложения, получаем формулу интегриро­ вания

t

л

 

.

/k \

 

 

 

 

 

 

Г

— — V

(fe-Q!

(W(|

,

(-1 )пШ (п~2)(<

J l ^

i

 

!=0

)( BU

- W

+ j

 

(в—1)!(n-l)*+1 ‘

0

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.2.2)

Далее,

при

любых

X,

pt=5^=—1,

—2 , . . . ,

согласно

правилу

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

свертки, имеем

J {'Iх} {(f —t)ii}dT-*-r(X -{—1) Г (р- +

1) ■гх+|1 •

Отсюда

 

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d_

{^} {(*

t)^} dz =

Г ( Х + 1 ) r ( t i+ l )

tl+v-.

(4.2.3)

 

dt j

Г(Х+[х+1)

 

О

Для X, p, равных целым отрицательным числам, указанная свертка вычисляется аналогично [13].

п. 2. Обобщенное дифференцирование. Имеем D{tx} = =X.{fx-1}. Аналогично п. 1, исходя из сравнения соответст­

вующих разложений в ряд

Лорана в окрестности точки

Х=—п, получаем:

 

—

+

 

( 4 . 2 .4 )

 

(ji — 1 , 2 , • **) ^ 1 , 2 , . . .)

Легко видеть, что Dlnkt = k Ink—if

87

п. 3. Правило

подобия. Изображению Г(Я.+1 ){а2)х,

где

а — произвольное

комплексное число,—n ^ a r g a < n ,

пос­

тавим в соответствие о. о. {(сс#)я}- Очевидны следующие свой­ ства этого о. о.:

а) {(at)x) совпадает с функцией (at)1 для ReA,>—1 ,

б) {(at)x} = «ЧП Х=£— 1 , - 2 , ...

Разлагая о. о. {(а?)л} в ряд Лорана (1.22), получим функции вида

{(at)-" In* (а*)}. (4.2.5)

Очевидно, изображениями этих функций будут изображения (1.26) с заменой z на az. Представляет интерес установить

связь функций (5) с функциями вида ft- "In* t}. Приемом, изложенным в п. 1, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

(?) ln * + 1 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(*+1 )(в -1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.2.6)

В частности, при k = 0 имеем

 

 

 

 

 

 

/ 1

1 _

1

/ 1

1

I

lnaS*"-1^?)

 

(4.2.7)

I (*?)"

J —

в»

Ь »

J

“ Г

 

а п ( „ _ ! ) , *

 

 

Отсюда, например, при а = —1 получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in

8<"—11

(t).

(4.2.8)

 

 

 

 

 

 

(Н=1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вышеприведенные формулы указывают на необходи­ мость соблюдать определенную степень осторожности при различного рода операциях над рассматриваемыми «сте­ пенными функциями». Эту мысль также подтверждает сле­ дующий пример:

{XJr } = { т } + {■f } +

+ ^1п^' - <х + « х + р)] 3(0 .

 

(4.2.9)

Замечание к правилу деления о. о. на t. Пусть f(t) — це­ лая функция экспоненциального порядка роста. Тогда

*

tk

00

/чо = 2

°k ~ k T ^ F (z) =

2 akzk•

4 - 0

 

4 = 0

В этом случае вопрос об определении о. о. {t~nf(t)} и от­ вечающего ему изображения может быть решен в обход

88

ранее сформулированному правилу деления о. о. на t п мето­ дом выделения особенностей.

Предположим, что

существуют

пределы F(0), F^O),... ,

F (n-1)(0).

Тогда, используя соотношения

(3.2.9), (3.2.14),

 

1

t

 

 

г

имеем

Г

dп

1 C

Г

-1)»»

J (f— х)п

1 dx* f (x) d i

(B_ 1 )|Z* J {z— u Y - l \F(u)—

П—1

- 2ft=0 * " ’« » • *J] £ ■

Здесь предполагается, что интеграл в правой части не требу­ ет регуляризации. Отсюда, учитывая равенство

n < * - ' ) - й { / M i * = ( / « 1 - 2 ^ 4 .

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

da .

{ ™ } ~ 5= 51^ 1

 

[ а д -

 

2

 

~7in~ "T"

 

 

П

 

L

 

К<=0

 

(4.2.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

( - D

 

(_ 1 )*J>(*)(0) z k [\|Дв—ft) _|_ ln2].

 

ft=0 (ft!)2 (re—ft—1 )!

 

 

 

 

 

 

П р и м е р . J 0(2yxt)-i-e- -Xz

 

 

 

 

Следовательно,

/«М2Vu) \

. _L

C

e~lu—1

du +

Ins—C

(—

i—

*

J

---- -

 

 

 

 

 

 

 

Xz

 

 

 

 

 

 

 

= -j- [InXs — J * *

du — C— lnX] =

— [Ei (—Xs) —2C—lnX].

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

{y .( 2/Xf)

 

ш (_ x 2) - inx -

2 С].

(4.2.11)

§ 3. Функции со степенной особенностью в произвольной точке

Включение функций типа t~n\nkt в пространство обоб­ щенных оригиналов было дано в § 1. Ниже будет пока­ зано, что указанное пространство содержит также функции

типа (£—а)_л1п*(£—а)т;(£), \t—a|_nlnft|f—a\ri(t), f_nln*^(a —t)

и что отвечающие им изображения могут быть построены на базе регуляризации некоторых расходящихся интегралов.

п.

1.

Функции типа t~nlnkt. Учитывая (1.23)

и (1.24),

со­

отношение (1.26) представим в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й+ 1

* + i\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(й+1) (n—l)!zn

, т ) 1п*+1- “ г 2 (m) r (m- i!(l)i!X

 

 

 

 

 

7?г = 0

 

 

 

г = о ^

'

(4.3.1)

 

 

 

 

- 1 \ (_ 1 )л+1 = А п, н(г),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г=1

' Г

1

Г1

 

 

 

 

 

 

где r](f) — единичная функция Хевисайда.

 

получаются

Отсюда как частные случаи (при k = 0, 1, 2,)

соотношения, выведенные в работе [173].

используя

равен­

Действительно, полагая в (1)

k = 0,

1, 2,

ства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

[ n \ ( - l ) k+1

_

V

1

о

' S ? ( n \ ( - D k+1

 

2

 

 

+

 

k = l

\к

к

 

Ad

ъ*

*

Ad\k

V

 

 

 

 

 

 

R —1

 

 

R = 1

 

 

 

 

 

га

га

 

( -

1) й+ 1

 

 

 

 

 

 

 

2 Ж. 31 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к3 - ( 2 - г ) + * 2 т - 2 -р- +

й—1

k = l

 

 

 

 

k = i

 

Й=1

Й—1

 

 

 

 

 

 

+ 2 2

к3 »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й=1

 

 

 

 

 

выражая Г(А)(1)

через ^ " ^ (l)

(4r(z) = r'( 2)/r(z))

и учитывая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф(1 )= -

С +

 

W(*)(« + 1 ) = ^ « ( 1 ) +

(—1 )**! 2

7 ^

’

 

 

й =1

 

 

 

 

 

 

1=1

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш 4(0 ^

(ё Й ? - С 1п 2

=

Ап,о (г),

(4.3.2)

90

Смотрите также файлы