Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

1 Г'(Л] + ЧГ{п)} = А пЛ(г).

Замечание. Применяя теорему сдвига (при а > 0 ) к выра­ жению (1 ), получаем

Этим соотношением воспользуемся ниже.

п. 2. Функции с неинтегрируемыми степенными особен' ностями в произвольной точке. Очевидно, (ReX>—1):

Так как изображение Ф(а, X, z) аналитично для всех Х ф —1, —2,... (в точках Х = —1, —2,... эта функция имеет про­ стые полюсы), то аналитическим продолжением соответст­ вия (4) по X имеем уже для всех Х ф —1, —2,...

Аналогичным приемом, изложенным в § 1, разложим функцию Ф(а, X, z) в ряд Лорана по степеням Х+п. В резуль­ тате получим

91

Домножая теперь обе части (1.22) на произведение еди­ ничных функций, получим

{fxh(f)r/(<*— о = (п-ЩА+ п)

(4.3.8)

Сравнивая (6) и (8), учитывая при этом (5), находим:

где Р ^ (а, z, 1па) определяется по формуле (7).

Аналогично тому, как было получено соответствие (9), устанавливаем справедливость следующих соответствий

(ниже k = 0, 1 , 2 , . . . ; п = 1 , 2 , . .. )

{(* — <*)~п1п* (t — a)} ri(t)r;(cc -~ t) e~a z Q[n)(ос, г), (4.3.10)

здесь и ниже ln (i—а) понимается в смысле главного значе­ ния

n. 3. Регуляризация некоторых расходящихся интегра­ лов. В силу обобщенного интеграла Лапласа — Карсона со­ ответствие (9) принимает вид

92

(при п = 1 второе слагаемое в (7) должно быть положено рав­ ным нулю).

Переходя к пределу в обеих частях (15) при 2-»-+°°, по­ лучаем

вычисляются следующие регуляризованные значения инте­ гралов :

Замечание. Равенства (18) и (19) также могут быть по­ лучены из (16) и (17) соответствующей заменой переменных интегрирования, причем при выводе (18) необходимо учесть второе из равенств (1 2 ).

Таким образом, показано, что функции, обладающие неинтегрируемыми степенными и логарифмическими особенно­ стями, имеют в качестве изображений определенные анали­ тические функции и, следовательно, упомянутые функции содержатся в пространстве о. о. Попутно получена регуля­ ризация некоторых расходящихся интегралов.

93

Г л а в а 5

ЧИСЛЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА МЕТОДАМИ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Ниже речь будет идти о приближенном (численном) ре­ шении интегрального уравнения Фредгольма первого рода

00

О

где F(p) — заданная функция; f(t) — искомая функция. Известно [54, 64, 120], что указанная задача относится

к классу некорректных задач. Одной из существенных ха­ рактеристик этой некорректности является следующая осо­ бенность: сколь угодно малые погрешности, вносимые в вы­ числение значений функции F(p), могут существенно влиять на значения вычисляемой функции f(t). Этот факт можно проиллюстрировать следующим простым примером.

Пусть решается задача обращения (1). Известно,

оо

численно отличаются друг от друга на величину, модуль которой не превышает е. Тогда как соответствующие им ори-

95

гиналы разнятся величиной |2?sinat|, которая при а > А характеризуется высокочастотными колебаниями.

Приведенный факт значительно затрудняет применение универсальных приемов, таких, как сведение уравнения (1 ) к системе алгебраических уравнений посредством исполь­ зования тех или иных квадратурных формул.

Отказ от подобных универсальных методов приводит к необходимости изучения отдельных специальных приемов, каждый из которых оказывается достаточно эффективным в определенном классе оригиналов. Все они, как правило, используют идею разложения изображений на сумму про­ стых компонентов, по каждой из которых можно точно вос­ становить оригинал.

Пусть изображение F(p) разлагается в сумму вида

Пусть далее известны оригиналы <pft(£), отвечающие изобра­ жениям Фh(p). Тогда ряд (2) порождает ряд

Естественно, при этом возникают вопросы:

а) в каких случаях и в какой топологии ряд (3) представ­ ляет оригинал f(t), отвечающий изображению F(p);

б) каким образом вычислить коэффициенты ак ряда (3) (или что то же ряда (2 )).

Для задачи численного обращения важное значение также приобретает ответ на такие вопросы, как: скорость сходимости ряда (3); в каких случаях появляется возмож­ ность улучшить сходимость ряда (3); с какой точностью могут быть определены коэффициенты ак; какова степень влияния точности вычисления коэффициентов а* на общее представление функции f(t) рядом (3).

Очевидно, что вид разложения (3) зависит от выбора функций Фа(р ). В данной главе используется простейшая ситуация, когда в качестве <р*(г) избираются функции Лагерра <р* (0 = e~ tl2 L h(£). Таким образом, здесь ряды Лагерра выступают как аппарат численного обращения преобразо­ вания Лапласа. Для вычисления коэффициентов a *(& = 0, 1, 2 ,...) ряда Лагерра (называемых иногда лагерровским спектром) используются формулы, являющиеся аналогами формул тригонометрического интерполирования. Этот факт позволяет широко применять методы гармонического ана­

96