Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
лиза в проблеме численного обращения. Наличие мощного арсенала методов улучшения сходимости и оценки прибли жений в гармоническом анализе, а также широкой библио теки стандартных программ гармонического анализа, в особенности программ быстрого преобразования Фурье, де лает алгоритмы приближения оригинала рядами Лагерра особенно привлекательными.
§ 1. Обзор важнейших задач тригонометрического интерполирования
Описываемые ниже алгоритмы используются при конст руировании алгоритмов численного обращения преобразо вания Лапласа. Это обусловило необходимость их класси фикации, краткого описания и сопоставления.
Здесь в отличие от того, как это делается в известных работах по гармоническому анализу, алгоритмы сопостав ляются между собой на основе связи между «дискретными» и «интегральными» коэффициентами Фурье.
Пусть функция f(x) определена на отрезке |
— |
|
и I — некоторое множество индексов. |
многочлен |
|
Задача |
t r : Построить тригонометрический |
|
у(х) = ^ |
а *. л еж1Ъх. такой, что y{xk)= f(xk) (kQl), |
|
kei |
|
|
где x k(kQl) — узлы, распределенные на [—1 , 1 ]. |
|
|
Ниже приведены наиболее распространенные варианты |
||
задачи tr, |
обусловленные специальным выбором узлов. |
|
Задача tr |
tr1 |
t r 3 |
N —число узлов |
N = 2n + l |
N = 2 n + l |
В и д узлов |
Xk = |
N |
|
71 |
|
М ножество измене |
— n < f e < n |
—n < £ k < n |
н и я k |
|
|
tr3
N = 2n
H II n
—п + 1 < й < в и л и
—n < k < n —1
В задаче tr\ концевые точки промежутка [—1, 1] вклю чаются в состав узлов, в задаче tr2 — исключаются, в зада че tr%— включается одна из них.
Основой приведенной классификации служат два отно шения ортогональности:
Задача tr\\ |
|
|
|
|
. ks |
|
. km |
|
|
Ш-- |
-TZl -- |
О, если s=^=ff*2 ra+7ra |
(5.1.1) |
|
|
e |
n |
||
|
|
|
||
.1 , если s=ff*2 re+m
7 - 5 |
97 |
Задачи tr2, tr 3 |
|
|
|
|
|
1 |
V |
е |
- 2%ii r |
fO, если s ф qN + |
m |
— ^ е |
|
= < |
(5.1.2) |
||
|
ш |
|
|
(1, если s = qN + |
m |
Здесь q, s — любые целые числа; m e/; символ 2" озна |
|||||
чает, что |
два крайних |
члена суммы взяты с весом, рав |
|||
ным 72. |
|
|
|
|
||
ат |
Используя (1) и (2), получаем искомые коэффициенты |
|||||
задачи tr : |
Задачи tr2, tr 3 |
|||||
Задача tr! |
|
|||||
|
|
|
|
.Sk |
N |
|
ас |
— 2 л |
kei |
fk e |
O'cn |
||
* l ? i fke |
||||||
|
|
|
|
|||
Периодичность по переменной s соотношений (1), (2) с периодом 2п и N соответственно позволяет установить связь коэффициентов asn задач / п , 2,з с коэффициентами as раз ложения f{t) в ряд Фурье
00
1 |
|
/(* ) = 2 |
ане%1кх. |
|
(5.1.3) |
|
|
|
k = — <x |
|
|
|
|
Задача tri |
|
|
|
|
|
|
1 XI"V |
|
оо |
1 |
.km |
,km |
|
V |
||||||
2 аь ‘ |
2 d |
. |
||||
2 i e |
n Zi |
|||||
m G l |
|
|
k——X |
,mCI |
|
|
Отсюда в силу (1), |
|
|
|
|
||
|
|
00 |
|
|
|
|
d sn == d s~\~ |
i& r2 n +s “ 7 d — r2n +s ) (^б-О* |
(5.1.4) |
||||
|
|
r = l |
|
|
|
|
Задачи tr2 tr 3 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично проверяется справедливость |
|
|
||||
asn — as- b 2 ( 3rW+s |
a—rN+s){sQl). |
(5.1.5) |
||||
|
|
r = l |
|
|
|
|
Соотношения (4) и (5) устанавливают связь между «дискрет ными» и «интегральными» коэффициентами Фурье и пред ставляют удобный аппарат для анализа вопросов точности тригонометрической аппроксимации.
98
В таблице 1 приведена более детальная классификация задач tr 1,2,3 в связи с переходом от «комплексной формы» записи тригонометрических многочленов к «вещественной форме». Эта таблица составлялась в предположении, что ряд (3) приведен к виду
СО СО
f(x) = 2 |
съcoskxx + 2 d^sin/глл:, |
(5.1.6) |
k=0 |
£=1 |
|
где ch = ak -\-a-k; dk = i(ak — a—k),
аотвечающий ему тригонометрический многочлен приведен
квиду
га |
га—1 |
|
у(х) = 2 |
ckncoskizx + 2 dknsinkKx. |
(5.1.7) |
k=0 |
h=l |
|
Здесь символ S' означает, что первое слагаемое берется с
весом ’/г* Таблица 1 в каждом конкретном случае содержит так
же связи между «дискретными» и «интегральными» коэф фициентами Фурье, при этом для сокращения записи вве дены обозначения
k N |
— 2 ( C?rJV+ft “b |
°rN—k)j ° k N — |
2 (drN+k — d r N —k). |
|
r=l |
Ланцош [70] |
r=l |
Замечания. 1. К. |
рекомендует видоизме |
||
нить задачу tr\ и строить интерполяционный многочлен в форме (задача tr'i):
у(х) = 2 |
ckncosnkx -f- 2 d^sin^A*. |
к=0 |
*=1 |
Практическая ценность указанной модификации находит простое объяснение, если воспользоваться связью между «дискретными» и «интегральными» коэффициентами Фурье. Для задачи trxимеем спп = сп + о+ 2п=2(сп + с3л+ с 5п+ ...) .
Отсюда следует, что величина ~ с пп приближает величину
сп с точностью до порядка малости коэффициента с Зп. Этот факт собственно объясняет целесообразность введения в за даче tr\ весового множителя V2 при коэффициенте спп (т. е. модификации по К. Ланцошу).
2. В последующем под задачей tr\ будем понимать зада чу tr'\. Это соглашение, кроме упомянутого в замечании 1 достоинства, полезно в следующем отношении. Если в
9*
Индекс Ограниче задачи ние
|
Узлы: |
|
|
X k |
k |
|
= ■ |
|
|
|
n |
t r . |
— n < . b < n |
|
|
||
|
/(x )—ве |
|
|
щественная |
|
|
функция |
|
|
Узлы: |
|
|
|
= J_ |
|
|
n |
|
—n<b,<n |
|
|
/(* )—ве |
|
|
щественная |
|
|
четная |
|
|
функция |
|
|
Узлы: |
|
t r !S Xk = ' пk_ |
||
|
|
n<ft< п |
|
/ ( ^ - в е |
|
|
щественная |
|
|
нечетная |
|
|
функция |
|
|
|
Узлы: |
|
|
2k |
|
X k |
2 п + 1 |
tr2
—n<ft<n
f ( x ) — ве
щественная
функция
Таблица l
|
|
|
Формулы |
||
|
|
|
|
п—1 |
|
У(*)= 2 |
с*п созяйх + 2 |
dkn sinrcftx |
|||
ft=o |
|
|
*=о |
||
- |
7* |
^ |
|
|
k |
1 |
|
|
|
||
САп= — 2 ^ |
|
(f m + f - m ) cosiwre— |
|||
|
771=0 |
|
|
|
|
d*n= — ^ |
(f m — f - m |
) sinп т —п |
|||
|
т—1 |
|
|
|
|
c kn — Ck + |
ak,2n> ^ftn=<if t + 3ft, 2n |
||||
|
n |
|
|
|
|
z /( x ) = 2 |
c*„ cosicAx |
|
|
||
ft—о |
|
|
|
|
|
Cftn |
m=0 |
m COS^TH- |
|
||
|
|
|
|
||
Cftn = Cft + |
аьft,' 2ra |
|
|
||
n—1 |
|
|
|
|
|
y ( x ) = |
2 dftn Sin*i?>x |
|
|
||
ft=l |
|
|
|
|
|
|
_ 77— 1 |
. |
, |
|
|
|
2 y |
|
* |
|
|
dft„= n 2 d fmS1T17lm'n |
|
||||
|
771=1 |
|
|
|
|
dftn = dft + |
2тг |
|
|
||
|
77 |
|
|
И |
|
y ( * ) = 2 |
Cftn COSItftx + ^ |
d k n simcfex |
|||
|
ft= o |
|
|
f t = i |
|
|
2 |
|
|
|
jrtk |
Ckn = 2n+T 2d |
|
cos2,c2n+l |
|||
|
|
|
771=0 |
|
|
|
2 |
|
^ |
|
m k |
dhn = 2п+Г |
m~ f~m* sin2* 2n+T |
||||
|
|
|
777=1 |
|
|
Ckn — |
° k + |
ojjj 2n+l’ |
d k n |
~~ d k + a k, 2n+l |
|
100